2000-新课标卷文-12 单-二项式展开的有理数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及展开式中系数为有理数的项的计数。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(文)） 二项式 ${\left(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}x\right)}^{50}$ 的展开式中系数为有理数的项共有()

A. $6$ 项　　B. $7$ 项　　C. $8$ 项　　D. $9$ 项

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项 $T_{r+1}=C_{50}^r(\sqrt{2}{)}^{50-r}(\sqrt[3]{3}{)}^r{x}^r$。
2. 系数为有理数要求 $50-r$ 为偶数且 $r$ 为 $3$ 的倍数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

二项式 ${\left(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}x\right)}^{50}$ 的展开式通项为 $T_{r+1}=C_{50}^r(\sqrt{2}{)}^{50-r}(\sqrt[3]{3}{)}^r{x}^r$（$r=0,1,\dots ,50$）．系数 $C_{50}^r(\sqrt{2}{)}^{50-r}(\sqrt[3]{3}{)}^r$ 为有理数，需 $(\sqrt{2}{)}^{50-r}$ 为有理数（即 $50-r$ 为偶数）且 $(\sqrt[3]{3}{)}^r$ 为有理数（即 $r$ 为 $3$ 的倍数）．$50-r$ 为偶数等价于 $r$ 为偶数．故 $r$ 须同时为偶数且为 $3$ 的倍数，即 $r$ 为 $6$ 的倍数，$r=0,6,12,18,24,30,36,42,48$，共 $9$ 个．所以系数为有理数的项共有 $9$ 项，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开的有理数项

核心方法：通项 $T_{r+1}=C_{50}^r(\sqrt{2}{)}^{50-r}(\sqrt[3]{3}{)}^r{x}^r$，系数有理数须 $50-r$ 偶且 $r$ 为 $3$ 的倍数，即 $r=0,6,12,\dots ,48$ 共 $9$ 个

避坑指南：有理数项须根指数齐整

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，有理数项要求各项根指数均为整数

方法推广：根指数齐整定项数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-14 填-二项式特定项系数
• 2004-全国卷III文-06 单-二项式展开常数项
• 2001-大纲文-13 填-二项式特定项系数

专题合集 (Series)