2000-新课标卷文-09 单-圆柱全面积与侧面积之比

本题导读

本题考查圆柱的表面积，以及侧面展开图为正方形时的面积比。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(文)） 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()

A. $\frac{1+2\pi }{2\pi }$　　B. $\frac{1+4\pi }{4\pi }$　　C. $\frac{1+2\pi }{\pi }$　　D. $\frac{1+4\pi }{2\pi }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 侧面展开图为正方形得 $h=2\pi r$。
2. 分别求全面积与侧面积。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设圆柱底面半径为 $r$、高为 $h$，侧面展开图是边长为 $2\pi r$ 的正方形，故高 $h=2\pi r$．侧面积 $S_{侧}=2\pi rh=2\pi r\cdot 2\pi r=4{\pi }^2{r}^2$，全面积 $S_{全}=S_{侧}+2\pi r^2=4{\pi }^2{r}^2+2\pi r^2$．故 $\frac{S_{全}}{S_{侧}}=\frac{4{\pi }^2{r}^2+2\pi r^2}{4{\pi }^2{r}^2}=\frac{2\pi +1}{2\pi }=\frac{1+2\pi }{2\pi }$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱全面积与侧面积之比

核心方法：侧面展开为正方形故 $h=2\pi r$，全面积与侧面积比 $\frac{2\pi r^2+4{\pi }^2{r}^2}{4{\pi }^2{r}^2}=\frac{1+2\pi }{2\pi }$

避坑指南：展开图为正方形定 $h=2\pi r$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆柱的表面积

结论推广：一般地，侧面展开为正方形时 $h=2\pi r$

方法推广：展开图定高再求面积比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-03 单-圆锥轴截面与全面积
• 2012-上海卷文-05 填-圆柱的表面积
• 2011-上海卷文-07 填-圆锥侧面积

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