2000-新课标卷文-07 单-对数式的比较大小

本题导读

本题考查对数式的比较大小，以及基本不等式的运用。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(文)） 若 $a>b>1$，$P=\sqrt{\lg a\cdot \lg b}$，$Q=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)$，$R=\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)$，则()

A. $R<P<Q$　　B. $P<Q<R$　　C. $Q<P<R$　　D. $P<R<Q$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由基本不等式 $P<Q$。
2. 由 $\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$ 及对数单调性得 $R>Q$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由基本不等式，$P=\sqrt{\lg a\cdot \lg b}<\frac{\lg a+\lg b}{2}=Q$（$a>b$ 时取严格不等号）．又 $Q=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)=\lg \sqrt{ab}$，而由 $a>b>1$ 得 $\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$，对数函数 $\lg x$ 单调递增，故 $R=\lg \frac{a+b}{2}>\lg \sqrt{ab}=Q$．所以 $P<Q<R$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数式的比较大小

核心方法：$Q=\lg \sqrt{ab}$，$\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$ 故 $R>Q$；$P=\sqrt{\lg a\lg b}<\frac{\lg a+\lg b}{2}=Q$（基本不等式），故 $P<Q<R$

避坑指南：均值不等式 + 对数单调性

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材对数与基本不等式

结论推广：一般地，$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$ 且 $\lg$ 单调

方法推广：均值不等式 + 对数单调

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅱ文-04 单-对数比较大小
• 2006-天津文-04 单-对数比较大小
• 2005-全国卷III文-06 单-对数作商比较大小

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