2000-新课标卷文-02 单-向量命题的真假判定

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量命题真假的判定。

📌【题干】

Question

（2000年新课标卷(文)） 设 $a$、$b$、$c$ 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ① $(a\cdot b)c-(c\cdot a)b=0$； ② $|a|-|b|<|a-b|$； ③ $(b\cdot c)a-(c\cdot a)b$ 不与 $c$ 垂直； ④ $(3a+2b)\cdot (3a-2b)=9|a{|}^2-4|b{|}^2$ 中，是真命题的有()

A. ①②　　B. ②③　　C. ③④　　D. ②④

🔍【思路分析】

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1. ①数量积不满足结合律。
2. ②由三角不等式且 $a,b$ 不共线得严格不等。
3. ③验证该向量与 $c$ 的内积。
4. ④由平方差公式。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

① 数量积不满足结合律：$(a\cdot b)c$ 是与 $c$ 共线的向量，而 $(c\cdot a)b$ 是与 $b$ 共线的向量，因 $b,c$ 不共线，二者一般不相等，故①为假命题； ② 由向量三角不等式 $|a|-|b|⩽|a-b|$，等号当且仅当 $a,b$ 同向时成立，而 $a,b$ 不共线，故严格不等式 $|a|-|b|<|a-b|$ 成立，②为真命题； ③ 计算 $[(b\cdot c)a-(c\cdot a)b]\cdot c=(b\cdot c)(a\cdot c)-(c\cdot a)(b\cdot c)=0$，故该向量与 $c$ 垂直，即”与 $c$ 垂直”而非”不与 $c$ 垂直”，③为假命题； ④ $(3a+2b)\cdot (3a-2b)=9a\cdot a-4b\cdot b=9|a{|}^2-4|b{|}^2$，④为真命题． 故真命题是②④，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量命题的真假判定

核心方法：①数量积不满足结合律，$(a\cdot b)c\ne (c\cdot a)b$，假；②$a,b$ 不共线，$|a|-|b|<|a-b|$ 严格，真；③$[(b\cdot c)a-(c\cdot a)b]\cdot c=0$，该向量与 $c$ 垂直（非”不与 $c$ 垂直”），假；④平方差 $(3a+2b)(3a-2b)=9|a{|}^2-4|b{|}^2$，真，故选 D

避坑指南：逐条判定数量积性质

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材平面向量的数量积

结论推广：一般地，数量积不满足结合律，但满足平方差公式

方法推广：逐条判定数量积性质

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2002-上海卷文-02 填-向量数量积运算
• 2004-全国卷II文-09 单-向量模与数量积
• 2004-福建文-08 单-向量数量积与夹角

专题合集 (Series)