2000-广东卷理-04 单-三角函数的单调性

本题导读

本题考查不同象限内三角函数的单调性变化。解题核心在于明确在限定象限内，正弦函数的单调走势与角度的关系，进而推导余弦或正切函数的大小关系。最快捷的方法是举反例或代入特殊角进行验证。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 已知 $\sin \alpha >\sin \beta$，那么下列命题成立的是()

A. 若 $\alpha ,\beta$ 是第一象限角，则 $\cos \alpha >\cos \beta$　　　B. 若 $\alpha ,\beta$ 是第二象限角，则 $\tan \alpha >\tan \beta$

C. 若 $\alpha ,\beta$ 是第三象限角，则 $\cos \alpha >\cos \beta$　　　D. 若 $\alpha ,\beta$ 是第四象限角，则 $\tan \alpha >\tan \beta$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析前提条件：已知 $\sin \alpha >\sin \beta$。
2. 逐项分析或利用特殊值法：

• 选项 A：第一象限。正弦递增，余弦递减。
• 选项 B：第二象限。正弦递减，正切递增。
• 选项 C：第三象限。正弦递减，余弦递增。
• 选项 D：第四象限。正弦递增，正切递增。

3. 通过单调性逻辑推理得出正确选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

我们利用三角函数在各象限的单调性进行逐项判断。已知前提是 $\sin \alpha >\sin \beta$。

• 对选项 (A)：若 $\alpha ,\beta$ 在第一象限（如区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$）。 在该区间内，$y=\sin x$ 单调递增。由 $\sin \alpha >\sin \beta$ 可得 $\alpha >\beta$。 而在该区间内，$y=\cos x$ 是单调递减的。所以由 $\alpha >\beta$ 必然推出 $\cos \alpha <\cos \beta$。 故选项 A 错误。

• 对选项 (B)：若 $\alpha ,\beta$ 在第二象限（如区间 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$）。 在该区间内，$y=\sin x$ 单调递减。由 $\sin \alpha >\sin \beta$ 可得 $\alpha <\beta$。 而在该区间内，$y=\tan x$ 是单调递增的。所以由 $\alpha <\beta$ 必然推出 $\tan \alpha <\tan \beta$。 故选项 B 错误。

• 对选项 (C)：若 $\alpha ,\beta$ 在第三象限（如区间 $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$）。 在该区间内，$y=\sin x$ 单调递减。由 $\sin \alpha >\sin \beta$ 可得 $\alpha <\beta$。 而在该区间内，$y=\cos x$ 是单调递增的。所以由 $\alpha <\beta$ 必然推出 $\cos \alpha <\cos \beta$。 故选项 C 错误。

• 对选项 (D)：若 $\alpha ,\beta$ 在第四象限（如区间 $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ 或 $\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$）。 在该区间内，$y=\sin x$ 单调递增。由 $\sin \alpha >\sin \beta$ 可得 $\alpha >\beta$。 而在该区间内，$y=\tan x$ 是单调递增的。所以由 $\alpha >\beta$ 必然推出 $\tan \alpha >\tan \beta$。 故选项 D 正确。

正确选项为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦、余弦、正切函数在四个象限内的单调性。
2. 核心方法：单调性传递法。即由 $\sin$ 值大小 $\stackrel{\text{该象限单调性}}{\to }$ 角度大小 $\stackrel{\text{目标函数单调性}}{\to }$ 目标函数值大小。
3. 避坑指南：

• 考场上如果记不清单调性，强烈建议使用特殊值法。
• 例如验证 D 项：在第四象限取 $\alpha =-30^{\circ },\beta =-60^{\circ }$。 $\sin (-30^{\circ })=-0.5$，$\sin (-60^{\circ })=-0.866$。满足 $-0.5>-0.866$。 计算正切：$\tan (-30^{\circ })=-0.577$，$\tan (-60^{\circ })=-1.732$。显然 $-0.577>-1.732$，即 $\tan \alpha >\tan \beta$ 成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是考查三角函数图象与性质的经典基础选择题。
2. 结论推广：对于任意区间，若两个函数在该区间上的单调性相同（同增或同减），则它们的值域变化方向一致；若单调性相反，则值域变化方向相反。在本题 D 选项的第四象限中，$\sin x$ 和 $\tan x$ 都是增函数，因此它们的大小关系保持一致。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-06 单-函数的单调性判断
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 1988-广东文-18 单-函数的单调性判断