2000-广东卷理-01 单-集合的子集与真子集

本题导读

本题考查集合的真子集个数的计算。解题核心在于熟练掌握含 $n$ 个元素的集合的子集个数公式 $2^n$ 以及真子集个数公式 $2^n-1$。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 已知集合 $A=\{1,2,3,4\}$，那么 $A$ 的真子集的个数是()

A. 15　　　　　　　B. 16　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定集合 $A$ 中的元素个数 $n$。
2. 利用真子集个数公式 $2^n-1$ 进行计算。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

已知集合 $A=\{1,2,3,4\}$，共有 $4$ 个元素，即 $n=4$。 根据含有 $n$ 个元素的集合其真子集个数为 $2^n-1$ 的公式， 可得集合 $A$ 的真子集个数为： $2^4-1=16-1=15$

正确选项为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含 $n$ 个元素的有限集的子集和真子集的计数。
2. 核心方法：直接套用计数公式。
3. 避坑指南：注意区分“子集”与“真子集”。子集包含空集和集合本身，共 $2^n$ 个；真子集包含空集，但不包含集合本身，共 $2^n-1$ 个。非空真子集的个数则为 $2^n-2$ 个。本题求的是真子集，极易因审题不细误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为高中数学集合部分的极基础题型，旨在考查对基本概念和公式的记忆。
2. 结论推广：对于任意有限集 $S$，若 $\text{card}(S)=n$，则其幂集（所有子集构成的集合）的基数为 $2^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1984-全国文-01 单-数集的相等关系
• 1985-广东文-18 单-集合的补集运算