2000-大纲理-10 单-直线与圆相切

本题导读

本题考查圆的切线方程，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 过原点的直线与圆 $x^2+y^2+4x+3=0$ 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()

A. $\frac{1+2\pi }{2\pi }$ B. $\frac{1+4\pi }{4\pi }$ C. $\frac{1+2\pi }{\pi }$ D. $\frac{1+4\pi }{2\pi }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆配方得圆心 $(-2,0)$、半径 $1$；设切线 $y=kx$，由圆心到直线距离等于半径解 $k$，再按象限定符号。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

将圆方程配方得 $(x+2{)}^2+y^2=1$，所以圆心为 $(-2,0)$，半径为 $1$. 设过原点的切线为 $y=kx$，则圆心到直线的距离等于半径，故 $\frac{2|k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，从而 $k^2=\frac{1}{3}$，即 $k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. 当 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，切点的横、纵坐标均为负，位于第三象限；当 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时切点位于第二象限. 因此所求直线为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$. 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的位置关系（相切）

核心方法：d（圆心到直线距离）$=r$

避坑指南：解出 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ 后必须按”切点在第三象限”定取舍，不能两个都保留

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆的切线问题是解析几何高频考点，“设斜率+距离公式”是标准解法.

2. 结论推广：过圆外定点的切线有两条，解出 $\pm k$ 后常需按题设条件（象限、垂直等）取舍.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-01 单-直线与圆相切求参数
• 1998-全国卷文-03 单-直线与圆相切的条件