2000-大纲理-07 单-对数均值不等式

本题导读

本题考查对数运算，以及基本不等式。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(理)） 若 $a>b>1$，$P=\sqrt{\lg a\cdot \lg b}$，$Q=\frac{1}{2}(\lg a+\lg b)$，$R=\lg \left(\frac{a+b}{2}\right)$，则()

A. $800$ 元$-900$ 元 B. $900$ 元$-1200$ 元 C. $1200$ 元$-1500$ 元 D. $1500$ 元$-2800$ 元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $u=\lg a$，$v=\lg b$，则 $P=\sqrt{uv}$，$Q=\frac{u+v}{2}$，$R=\lg \frac{10^u+10^v}{2}>\lg \sqrt{10^{u+v}}=\frac{u+v}{2}=Q$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

令 $u=\lg a$，$v=\lg b$. 因为 $a>b>1$，所以 $u>v>0$. 由算术平均数不小于几何平均数，且 $u\ne v$，得 $P=\sqrt{uv}<\frac{u+v}{2}=Q$. 又 $\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$，且对数函数递增，所以 $R=\lg \frac{a+b}{2}>\lg \sqrt{ab}=\frac{\lg a+\lg b}{2}=Q$. 因此 $P<Q<R$. 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式与对数函数性质

核心方法：换元比较+均值不等式链

避坑指南：$R$ 的比较关键在 $\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$（$a\ne b$ 取等失效），对数后才得 $R>Q$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三个代数式比大小是高考常客，核心是构造均值不等式链.

2. 结论推广：$\sqrt{uv}⩽\frac{u+v}{2}⩽\frac{a+b}{2}$ 的对数版本：$P⩽Q⩽R$（$a\ne b$ 时严格）.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-22 解-对数函数与均值不等式