2000-大纲文-10 单-过原点的圆切线方程

本题导读

本题考查直线与圆相切的条件，以及过原点的切线方程。

📌【题干】

Question

（2000年大纲卷(文)） 过原点的直线与圆 $x^2+y^2+4x+3=0$ 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()

A. $y=\sqrt{3}x$　　B. $y=-\sqrt{3}x$　　C. $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$　　D. $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆配方为 $(x+2{)}^2+y^2=1$，圆心 $(-2,0)$、半径 $1$。
2. 设切线 $y=kx$，用距离公式解 $k$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2+4x+3=0$ 配方得 $(x+2{)}^2+y^2=1$，圆心 $C(-2,0)$、半径 $r=1$．设过原点的切线为 $y=kx$，即 $kx-y=0$，圆心到该直线的距离 $d=\frac{|-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，平方得 $4k^2=k^2+1$，$3k^2=1$，$k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$．当切点在第三象限时（$x<0,y<0$），直线斜率 $k>0$（从原点到第三象限需 $k>0$ 且 $y=kx$ 中 $x<0$ 得 $y<0$），故 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$，切线方程为 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：过原点的圆切线方程

核心方法：圆 $(x+2{)}^2+y^2=1$，圆心 $(-2,0)$ 半径 $1$，过原点切线设为 $y=kx$，$d=\frac{2|k|}{\sqrt{1+k^2}}=1$，得 $k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$，切点第三象限取 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：圆心到切线距离等于半径

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线与圆相切

结论推广：一般地，圆心到切线距离等于半径

方法推广：点到直线距离等于半径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-01 单-直线与圆相切求参数
• 2006-江苏卷-02 单-圆的切线方程
• 2005-天津卷文-04 单-直线平移与圆相切

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