本题导读
本题是一道实际应用题。第一问本质上是求直角坐标点 对应的极坐标，通过计算模长与夹角直接得出；第二问是一道追踪拦截的最值问题，通过引入拦截点或运动时间作为自变量建立方程，利用一元二次方程根的判别式或函数最值确定“最快”拦截的临界状态。
📌【题干】
Question
（2000年上海卷(理)） 根据指令 ()，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度 ( 为正时，按逆时针方向旋转 ， 为负时，按顺时针方向旋转 )，再朝其面对的方向沿直线行走距离 .
(1) 现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点 ；
(2) 机器人在完成该指令后，发现在点 处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的 2 倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令. (结果精确到小数点后两位)
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问：
- 机器人原在 ，目标点 。
- 步长 。
- 旋转角 为 与 轴正方向的夹角，由 确定。
- 第二问：
- 初始时刻：机器人在 ，小球在 。
- 设机器人速度为 ，小球速度为 。机器人从 出发到拦截点 ，所需时间为 。
- 截住小球时，小球已从 向原点 滚动了距离 。
- 由于小球沿 轴负方向朝原点滚动，拦截点 必在 轴上，其坐标可表示为 。
- 机器人行走的距离为 。根据两点间距离公式，满足 。
- 建立关于 的一元二次方程，求解能使时间 最小（即 最小）的解，进而确定 的坐标及所需的新指令 。
✅【答案】
Success
(1) 指令为
(2) 机器人最快可在点 处截住小球，此时指令为
✍【详细解析】
Abstract
(1) 给使其移动到点 的指令： 设目标点为 。由于机器人初始处于原点 且面对 轴正方向： 行走距离 为点 到原点的距离：
旋转角度 满足： 因为点 处于第一象限，且 ，所以：
故使机器人移动到点 的指令为：
(2) 求最快截住小球的地点及指令： 此时机器人的初始位置为 。小球的初始位置为 ，运动轨迹为 轴。 设机器人直线行走的速度为 ()，则小球的滚动速度为 。 设机器人最快在 轴上的点 处截住小球，所用时间为 。
由于小球向原点滚动，由小球的运动规律可知，从 到 的运动距离为：
在此时间内，机器人行走的距离为：
根据平面两点间距离公式，有：
代入 及 ：
为了简化计算，令 ( 代表机器人行走的距离，)。原方程展开整理为：
解此一元二次方程： 因为 ，所以：
要求机器人“最快”截住小球，即要求所需的时间 最小。因速度 固定，故取较小的距离值：
将 代入拦截点横坐标公式： 因此，最快拦截小球的地点为 。
下面计算机器人从 移到 所需的指令 ：
- 行走距离 。
- 确定旋转角 ： 此时机器人已完成了第一步指令，其面对的方向为射线 （即与 轴正方向成 角的方向）。 向量 。 设向量 与 轴正方向的夹角为 ，则 。由于其横正纵负， 。 机器人当前朝向角度为 ，需要旋转至 方向，则其旋转净角度为：
答： 机器人最快可在坐标 处截住小球。 此时截住小球所需的指令为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：应用题中运动模型的几何化（两点间距离公式建立方程）；极坐标中关于当前面向方向与绝对方向的转换。
- 核心方法：变量整体代换法（将 设为单一未知数 求解）。
- 避坑指南：
- 第二问求出的两个根 和 均大于 0，小球均未通过原点（），均符合实际。必须明确“最快”对应时间极小值，故应舍去较大的根。
- 容易错把 的绝对夹角 当作指令中的 。必须注意机器人行走到 点后，当前面对的是 方向，新增的指令角度是相对当前朝向的旋转增量。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题是一道经典的”指令—坐标”应用题，将极坐标的概念（模长与方向角）与追及相遇模型结合，考查学生把实际问题转化为代数方程的能力。
- 结论推广：对于”匀速直线追及、求最快相遇点”类问题，一般步骤为：设运动时间 为参量 → 用两点间距离公式写出运动方程 → 整理成一元二次方程并求判别式或两根 → 取使时间最小的根。当涉及极坐标指令时，还需注意旋转角是相对当前朝向的增量，而非绝对方向角。
🔗【关联脉络】
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