2000-上海卷理-01 填-平面向量的坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算与向量垂直的充要条件。解题核心在于将“向量垂直”转化为“坐标形式的数量积为零”，从而列出一元一次方程求解。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(理)） 已知向量 $\overrightarrow{OA}=(-1,2)$、$\overrightarrow{OB}=(3,m)$，若 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确非零向量垂直的代数充要条件是它们的数量积为零，即 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$。
2. 将给定的坐标代入平面向量数量积的坐标公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，建立关于 $m$ 的方程并求解。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

已知向量 $\overrightarrow{OA}=(-1,2)$，$\overrightarrow{OB}=(3,m)$。 因为 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$， 所以两向量的数量积为 0，即： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$

代入向量坐标形式的数量积公式： $(-1)\times 3+2\times m=0$ $-3+2m=0$ $2m=3$ $m=\frac{3}{2}$

答案： $\frac{3}{2}$（或 $1.5$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量垂直的坐标表示 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。
2. 核心方法：坐标公式法。
3. 避坑指南：切勿将向量垂直的坐标公式与直线平行的条件（或向量共线的坐标条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$）混淆。若误用共线公式，会算出 $m=-6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为解析几何与平面向量基础工具运算的入门级常规题，常置于试卷最前列用于考查基本概念的掌握。
2. 结论推广：在二维空间中，已知非零向量 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，其对应的垂直向量可一般化表示为 $\vec{b}=(-k{y}_1,k{x}_1)(k\ne 0)$。本题中由于限定了横坐标为 $3$，故对应的比例系数 $k$ 与纵坐标 $m$ 是唯一确定的。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-湖南文-02 单-向量平行与垂直定参
• 2005-浙江卷文-08 单-向量垂直的坐标条件