2000-上海文-19 解-分式函数最值与恒成立

本题导读

本题考查分式函数的最值与不等式恒成立。核心在于先判断单调性求最值，再把恒成立转化为最值问题。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^2+2x+\frac{a}{x}$，$x\in [1,+\infty )$．

(1) 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值；

(2) 若对任意 $x\in [1,+\infty )$，$f(x)>0$ 恒成立，试求实数 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 求导判单调，最小值在 $x=1$ 处。
2. (2) $x>0$，$f(x)>0⟺x^2+2x+a>0$。
3. $g(x)=x^2+2x+a$ 在 $[1,+\infty )$ 增，最小值 $g(1)$。

✅【答案】

Success

(1) 最小值 $\frac{7}{2}$；(2) $a>-3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=x+2+\frac{1}{2x}$，$x\in [1,+\infty )$．求导得 $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{2x^2}$，当 $x\ge 1$ 时 $f^{\prime }(x)\ge \frac{1}{2}>0$，故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递增，最小值在 $x=1$ 处取得，$f(1)=1+2+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$． (2) 因为 $x\in [1,+\infty )$ 时 $x>0$，所以 $f(x)>0$ 等价于 $x^2+2x+a>0$．令 $g(x)=x^2+2x+a$，则 $g^{\prime }(x)=2x+2>0$，$g(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递增，最小值为 $g(1)=a+3$．故对任意 $x\in [1,+\infty )$ 都有 $g(x)>0$，必须且只需 $a+3>0$，即 $a>-3$．所以 $a$ 的取值范围为 $(-3,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式函数最值与恒成立

核心方法：(1) $a=\frac{1}{2}$ 时 $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{2x^2}>0$，$f_{\min }=f(1)=\frac{7}{2}$；；(2) $f(x)>0⟺x^2+2x+a>0$，最小值 $g(1)=a+3>0$，$a>-3$

避坑指南：单调性定最值；恒成立转化为最小值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数的最值与恒成立

结论推广：一般地，$f(x)>0$ 恒成立 $⟺f_{\min }>0$

方法推广：单调性定最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2005-北京春文-19 解-分式函数最值与应用
• 2004-湖北文-08 单-分式函数最值

专题合集 (Series)