2000-上海文-16 单-三角命题真假判定

本题导读

本题考查三角函数的概念与三角方程，以及命题真假的判定。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 下列命题中正确的命题是()

A. 若点 $P(a,2a)$（$a\ne 0$）为角 $\alpha$ 终边上一点，则 $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

B. 同时满足 $\sin \alpha =\frac{1}{2}$，$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角 $\alpha$ 有且只有一个

C. 当 $|a|<1$ 时，$\tan (\arcsin a)$ 的值恒正

D. 三角方程 $\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$ 的解集为 $\{x\mid x=k\pi ,k\in \mathbf{Z}\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. A 中 $a$ 可为负，$\sin \alpha$ 应带符号。
2. B 终边相同的角有无穷多个；C 中 $a<0$ 时值为负；D 验证。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

A 中 $P(a,2a)$ 到原点的距离为 $\sqrt{5}|a|$，故 $\sin \alpha =\frac{2a}{\sqrt{5}|a|}=\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$，当 $a<0$ 时为负，故 A 错； B 中同时满足两式的终边唯一（第一象限角 $\frac{\pi }{3}$），但终边相同的角 $\alpha =\frac{\pi }{3}+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）有无穷多个，故 B 错； C 中 $-1<a<0$ 时 $\arcsin a\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，$\tan (\arcsin a)<0$，不恒正，故 C 错； D 中 $\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$，则 $x+\frac{\pi }{3}=k\pi +\frac{\pi }{3}$，即 $x=k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$），故 D 正确．选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角命题真假判定

核心方法：A 漏 $a<0$ 情形；B 符合条件的角有无穷多个；C $a<0$ 时 $\tan (\arcsin a)<0$；D $\tan \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\Rightarrow x=k\pi$ 正确

避坑指南：三角命题逐条举反例

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的性质

结论推广：一般地，终边相同的角有无穷多个

方法推广：逐条举反例

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-14 单-三角方程解集
• 2009-新课标Ⅰ文-04 单-三角命题真假
• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集

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