2000-上海文-09 填-二项式系数的最值

本题导读

本题考查二项式定理，以及展开式系数的最值。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 在二项式 $(x-1{)}^{11}$ 的展开式中，系数最小的项的系数为　　　（结果用数值表示）．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(x-1{)}^{11}$ 的负系数出现在 $k$ 为奇数处。
2. 系数 $(-1{)}^k{C}_{11}^k$，最小即 $-C_{11}^5$。

✅【答案】

Success

$-462$

✍【详细解析】

Abstract

$(x-1{)}^{11}$ 展开式的通项为 $T_{k+1}=(-1{)}^k{C}_{11}^k{x}^{11-k}$．当 $k$ 为奇数时系数为负，其绝对值为二项式系数 $C_{11}^k$．二项式系数在 $k=5,6$ 处取得最大值 $C_{11}^5=C_{11}^6=462$，故系数最小的项在 $k=5$（或 $k=6$ 取正）处，最小系数为 $-C_{11}^5=-462$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式系数的最值

核心方法：$(x-1{)}^{11}$ 展开式中负系数绝对值为二项式系数，最大 $C_{11}^5=C_{11}^6=462$，故最小系数 $-462$

避坑指南：负系数最小 $=$ 最大二项式系数取负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材二项式定理

结论推广：一般地，$(a-b{)}^n$ 展开式负系数绝对值为二项式系数

方法推广：最大二项式系数取负

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-13 填-二项式系数求参
• 2004-上海卷文-09 填-二项式系数概率
• 2002-上海卷文-05 填-二项式系数和与极限

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