2000-上海文-06 填-增长率实际应用

本题导读

本题考查增长率模型，以及指数不等式在实际问题中的应用。

📌【题干】

Question

（2000年上海卷(文)） 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成 GDP $4035$ 亿元，2000 年上海市 GDP 预期增长 $9\%$，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 $0.08\%$，若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 $2$ 倍，至少需　　　年（按：1999 年本市常住人口总数约 $1300$ 万）．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 人均 GDP 年增长率 $=\frac{1.09}{1.0008}-1$。
2. 解 $(1+r{)}^n\ge 2$。

✅【答案】

Success

$9$

✍【详细解析】

Abstract

设 1999 年人均 GDP 为 $G$，则 $n$ 年后人均 GDP 为 $G\cdot {\left(\frac{1.09}{1.0008}\right)}^n$．人均年增长率 $r=\frac{1.09}{1.0008}-1\approx 8.92\%$．要使人均 GDP 达到或超过 1999 年的 $2$ 倍，需 ${\left(\frac{1.09}{1.0008}\right)}^n\ge 2$，即 $n\ge \frac{\ln 2}{\ln \frac{1.09}{1.0008}}\approx \frac{0.6931}{0.0854}\approx 8.1$．因 $n$ 为整数，故至少需 $9$ 年．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：增长率实际应用

核心方法：人均 GDP 年增长率 $\frac{1.09}{1.0008}-1\approx 8.92\%$，$1.0892^n\ge 2$ 得 $n\ge \frac{\ln 2}{\ln 1.0892}\approx 8.1$，至少 $9$ 年

避坑指南：人均量 $=$ 总量 $÷$ 人口，先算净增长率

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材函数模型的应用

结论推广：一般地，年均增长率 $r$ 时 $n$ 年后为 $(1+r{)}^n$ 倍

方法推广：净增长率取对数解不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-上海卷文-18 解-增长率应用题
• 2010-浙江卷文-16 填-增长率不等式
• 2004-湖南文-11 单-数列增长率应用

专题合集 (Series)