1999-广东-15 填-基本不等式求 ab 范围

本题导读

本题考查由 $ab=a+b+3$ 求 $ab$ 的取值范围，核心在于韦达定理与判别式。

📌【题干】

Question

（1999年广东卷） 若正数 $a$、$b$ 满足 $ab=a+b+3$，则 $ab$ 的取值范围是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $p=ab$，则 $a+b=p-3$。
2. $a,b$ 是方程 $u^2-(p-3)u+p=0$ 的两正根，用判别式求 $p$ 范围。

✅【答案】

Success

$[9,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

令 $p=ab$。由题设 $a+b=p-3$。因为 $a,b$ 是方程 $u^2-(p-3)u+p=0$ 的两个正根，其判别式须满足 $(p-3{)}^2-4p\ge 0$，即 $(p-1)(p-9)\ge 0$。又因 $a,b>0$，$p=ab=a+b+3>3$，故不可能有 $p\le 1$，从而 $p\ge 9$。反之，对任意 $p\ge 9$，方程两根和 $p-3>0$、积 $p>0$ 且判别式非负，两根均为正数，能满足题设。因此 $ab\in [9,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式求 ab 范围

核心方法：令 $p=ab$，则 $a+b=p-3$，$a,b$ 为 $u^2-(p-3)u+p=0$ 两正根，判别式 $(p-3{)}^2-4p\ge 0$ 得 $p\ge 9$，故 $ab\in [9,+\infty )$

避坑指南：韦达定理化判别式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材基本不等式

结论推广：一般地，$a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 或韦达定理化判别式

方法推广：韦达定理化判别式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-21 解-基本不等式求面积最小
• 2004-重庆文-14 填-基本不等式最值
• 2006-重庆文-12 单-均值不等式最值