1999-广东-13 填-椭圆的通径与离心率

本题导读

本题考查椭圆的通径、准线与离心率的关系。

📌【题干】

Question

（1999年广东卷） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F_1$，右准线为 $l_1$，若过 $F_1$ 且垂直于 $x$ 轴的弦长等于点 $F_1$ 到 $l_1$ 的距离，则椭圆的离心率是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通径长为 $\frac{2b^2}{a}$。
2. 右焦点到右准线距离为 $\frac{a^2}{c}-c=\frac{b^2}{c}$。
3. 两者相等求 $e$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$，离心率 $e=\frac{c}{a}$。过右焦点的垂直于 $x$ 轴的弦所在直线为 $x=c$，代入椭圆方程得弦长（通径）为 $2b\sqrt{1-\frac{c^2}{a^2}}=\frac{2b^2}{a}$。右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}$，所以点 $F_1$ 到右准线的距离为 $\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{b^2}{c}$。由题意 $\frac{2b^2}{a}=\frac{b^2}{c}$，因 $b>0$，约去 $b^2$ 得 $2c=a$，所以 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的通径与离心率

核心方法：通径长 $\frac{2b^2}{a}$，右焦点到右准线距离 $\frac{a^2}{c}-c=\frac{b^2}{c}$，由 $\frac{2b^2}{a}=\frac{b^2}{c}$ 得 $2c=a$，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$

避坑指南：通径等于焦准距

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材椭圆的几何性质

结论推广：一般地，通径长 $\frac{2b^2}{a}$，焦准距 $\frac{b^2}{c}$

方法推广：通径等于焦准距

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-07 单-椭圆离心率
• 2005-全国卷III文-10 单-椭圆离心率求值
• 2005-北京春文-10 填-椭圆离心率与准线