1999-广东-09 单-直线截圆的劣弧圆心角

本题导读

本题考查直线截圆所得的劣弧，以及弦心距与圆心角的关系。

📌【题干】

Question

（1999年广东卷） 直线 $\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$ 截圆 $x^2+y^2=4$ 得的劣弧所对的圆心角为()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求圆心到直线的距离（弦心距）。
2. 由 $\cos \frac{\theta }{2}=\frac{d}{r}$ 求圆心角。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

圆心为原点、半径为 $2$。直线到圆心的距离为 $d=\frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。设劣弧所对的圆心角为 $\theta$，取弦的一半，有 $\cos \frac{\theta }{2}=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因为 $0<\theta <\pi$，所以 $\frac{\theta }{2}=\frac{\pi }{6}$，从而 $\theta =\frac{\pi }{3}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线截圆的劣弧圆心角

核心方法：弦心距 $d=\frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}=\sqrt{3}$，$\cos \frac{\theta }{2}=\frac{d}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\theta }{2}=\frac{\pi }{6}$，$\theta =\frac{\pi }{3}$，选 C

避坑指南：弦心距与半圆心角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线与圆的位置关系

结论推广：一般地，弦心距 $d$、半径 $r$、半圆心角满足 $\cos \frac{\theta }{2}=\frac{d}{r}$

方法推广：弦心距与半圆心角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II文-15 填-直线与圆劣弧圆心角
• 2007-重庆文-08 单-圆心角与弦心距定参
• 2010-重庆卷文-15 填-和角公式圆弧圆心角