1999-广东-07 单-圆柱与倒圆锥的体积

本题导读

本题考查圆柱与圆锥的体积，以及体积不变时由底高关系求水面高度。

📌【题干】

Question

（1999年广东卷） 将若干毫升水倒入底面半径为 $2\mathrm{cm}$ 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 $6\mathrm{cm}$，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是()

A. $6\sqrt{3}\mathrm{cm}$　　　　B. $6\mathrm{cm}$　　　　C. $2\sqrt[3]{18}\mathrm{cm}$　　　　D. $3\sqrt[3]{12}\mathrm{cm}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先求圆柱中水的体积。
2. 倒圆锥轴截面为正三角形，得 $r=\frac{h}{\sqrt{3}}$。
3. 体积不变列方程求 $h$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

圆柱内水的体积为 $V=\pi \cdot 2^2\cdot 6=24\pi {\mathrm{cm}}^3$。设倒圆锥中水面的半径为 $r$、水面高度为 $h$。由于倒圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的底面直径与高满足 $2r=h\sqrt{3}$，即 $r=\frac{h}{\sqrt{3}}$。因而水的体积为 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{h^2}{3}\cdot h=\frac{\pi h^3}{9}$。由体积不变，得 $\frac{\pi h^3}{9}=24\pi$，所以 $h^3=216$，从而 $h=6\mathrm{cm}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱与倒圆锥的体积

核心方法：水体积 $V=\pi \cdot 2^2\cdot 6=24\pi$，倒圆锥轴截面正三角形 $r=h/\sqrt{3}$，$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi h^3}{9}=24\pi$，得 $h=6$，选 B

避坑指南：体积不变列方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材旋转体的体积

结论推广：一般地，$V_{柱}=\pi r^{2}h$，$V_{锥}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

方法推广：体积不变列方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-08 填-旋转体圆锥体积
• 2014-湖北卷文-10 单-圆锥体积
• 2015-新课标Ⅰ文-06 单-圆锥体积