1999-全国卷理-15 填-椭圆的通径与离心率

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及通径公式。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F_1$，右准线为 $l_1$，若过 $F_1$ 且垂直于 $x$ 轴的弦长等于点 $F_1$ 到 $l_1$ 的距离，则椭圆的离心率是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用椭圆标准方程，求出过焦点且垂直于长轴的弦长（通径）表达式。
2. 写出右焦点坐标与右准线方程，计算两者的距离（焦准距）。
3. 依据题意建立等量关系，化简得出关于 $a,c$ 的比例关系，即得离心率 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点 $F_1$ 坐标为 $(c,0)$，右准线 $l_1$ 方程为 $x=\frac{a^2}{c}$。

过焦点 $F_1(c,0)$ 且垂直于 $x$ 轴的弦为椭圆的通径。将其横坐标 $x=c$ 代入椭圆方程： $\frac{c^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1⟹\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-c^2}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}$ $y=\pm \frac{b^2}{a}$ 所以，该弦长为： $L=\frac{2b^2}{a}$

点 $F_1(c,0)$ 到右准线 $l_1:x=\frac{a^2}{c}$ 的距离为： $d=\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{b^2}{c}$

由题意知，弦长等于该距离，即 $L=d$： $\frac{2b^2}{a}=\frac{b^2}{c}$

由于 $b>0$，等式两边同除以 $b^2$ 得： $\frac{2}{a}=\frac{1}{c}⟹\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$

故椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆焦点弦（通径）公式 $L=\frac{2b^2}{a}$；焦准距公式 $d=\frac{b^2}{c}$（或直接推导 $d=\frac{a^2}{c}-c$）。
2. 核心方法：代数方程法。直接将几何条件翻译为 $a,b,c$ 的代数方程，利用 $e=\frac{c}{a}$ 整体求解。
3. 避坑指南：切勿混淆通径 $\frac{2b^2}{a}$ 与焦准距 $\frac{b^2}{c}$。记忆不牢时，建议如解析般现场代入坐标进行基础推导，既快又准。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查圆锥曲线最基础的三个特征量（焦点、准线、通径）的关联，属于教材基础性质的直接综合应用。
2. 结论推广：对于任意椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其通径 $L$ 与焦准距 $d$ 的比值恒为 $\frac{L}{d}=\frac{\frac{2b^2}{a}}{\frac{b^2}{c}}=\frac{2c}{a}=2e$。若已知两者的比例关系，可直接求出离心率。本题中比值为 1，故 $2e=1⟹e=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2003-北京文-05 单-椭圆离心率
• 2012-四川卷文-15 填-椭圆离心率
• 2012-天津卷文-19 解-椭圆离心率与斜率