1999-全国卷理-14 单-不定方程的选购计数

本题导读

本题考查二元一次不等式组的整数解，以及不定方程的非负整数解计数。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有()

A. 5 种　　　　　B. 6 种　　　　　C. 7 种　　　　　D. 8 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设立变量并列出原始不等式组：设购买软件 $x$ 片，购买磁盘 $y$ 盒。根据总价限制及数量下限，列出如下二元一次不等式组： $\{\begin{array}{l}60x+70y\le 500\\ x\ge 3\\ y\ge 2\end{array}(x,y\in \mathbb{Z})$
2. 平移换元降低计算维度：因为 $x,y$ 都有非零的最小基数限制，直接穷举大数容易混乱。可以通过平移法，令 $x=3+u$ 且 $y=2+v$（其中 $u,v$ 为非负整数）。将其代入资金不等式中，能够大幅度减小常数项，转化为求新型非负整数解 $(u,v)$ 的个数问题。
3. 有序穷举判定结论：对新变量 $v$（或 $u$）进行由小到大的分类讨论，锁定满足不等式的非负整数对的数量。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设该电脑用户购买软件 $x$ 片，购买盒装磁盘 $y$ 盒。由题意可得： $\{\begin{array}{l}60x+70y\le 500\text{(1)}\\ x\ge 3,x\in \mathbb{Z}\\ y\ge 2,y\in \mathbb{Z}\end{array}$

为了简化计算，将已知的最小购买量作为基准进行平移换元。令： $x=3+u(u\in \mathbb{N})$ $y=2+v(v\in \mathbb{N})$ 其中 $\mathbb{N}$ 表示非负整数集（即 $u,v$ 可取 $0,1,2,\cdots$）。

将平移公式代入资金约束不等式①中： $60(3+u)+70(2+v)\le 500$ 展开并合并常数项： $180+60u+140+70v\le 500$ $320+60u+70v\le 500$

移项得： $60u+70v\le 180$ 两边同除以 10 得到最简不等式： $6x^{\prime }+7y^{\prime }\le 18(\text{此处即 }6u+7v\le 18)\text{(2)}$

现在对非负整数 $v$ 自小到大进行有序穷举讨论：

1. 当 $v=0$ 时： 代入②式得 $6u\le 18⟹u\le 3$。 因为 $u\in \mathbb{N}$，所以 $u$ 可取 $0,1,2,3$，共 4 种方案。

2. 当 $v=1$ 时： 代入②式得 $6u+7\le 18⟹6u\le 11⟹u\le \frac{11}{6}$。 因为 $u\in \mathbb{N}$，所以 $u$ 可取 $0,1$，共 2 种方案。

3. 当 $v=2$ 时： 代入②式得 $6u+14\le 18⟹6u\le 4⟹u\le \frac{4}{6}$。 因为 $u\in \mathbb{N}$，所以 $u$ 只能取 $0$，共 1 种方案。

4. 当 $v\ge 3$ 时： 此时 $7v\ge 21>18$，无合法的非负整数 $u$ 解。

将所有分类方案的数量进行累加： $\text{总方案数}=4+2+1=7\text{ 种}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由实际优化问题抽象出二元一次不等式模型；利用变量平移消去常数基数（降维换元法）；非负整数解的分类穷举计数。
2. 核心方法：变量平移法。若不进行 $x=3+u,y=2+v$ 的换元，直接去算 $60x+70y\le 500$，大数值的乘除法极易导致漏数或重复数。换元成小数字 $6u+7v\le 18$ 后，心算即可确保零失误。
3. 避坑指南：

• 漏掉 0 的取值：在换元后，必须要明确 $u,v$ 是“非负整数”，也就是说它们完全可以等于 0（取 0 意味着刚好购买下限 3 片软件或 2 盒磁盘）。如果误将其当成正整数（从1开始取），会得出错误答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中“二元一次不等式组与简单线性规划问题”的实际应用导入习题。主要考查学生将实际文字转化为数学边界并处理离散整数点的基本功。
2. 结论推广：在离散数学和运筹学中，这类求 $Ax+By\le C$ 整数解个数的问题被称为背包问题的初级退化版（Integer Knapsack Problem）。在高考考场上，若遇到变量带有非零下限 $x\ge x_0,y\ge y_0$ 的离散约束，其标准解题流水线必然是“设新元 $\to$ 减去保底量 $\to$ 缩减常数项 $\to$ 依系数大者优先穷举”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津文-16 填-二次不等式整数解
• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合