1999-全国卷理-09 单-直线截圆的劣弧圆心角

本题导读

本题考查点到直线的距离公式，以及弦长、半径与弦心距的关系。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 直线 $\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$ 截圆 $x^2+y^2=4$ 得的劣弧所对的圆心角为()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取圆的核心基本量：从圆的方程 $x^2+y^2=4$ 可知，圆心为原点 $O(0,0)$，半径 $R=2$。
2. 计算弦心距 $d$：利用点到直线的距离公式，计算圆心 $O(0,0)$ 到直线 $\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$ 的距离 $d$。
3. 构造特征直角三角形：连接圆心和直线的两个交点，作圆心到弦的垂线段（即弦心距 $d$）。在垂足、圆心、交点构成的直角三角形中，斜边为半径 $R$，一条直角边为 $d$，利用余弦公式求出半圆心角 $\theta$。
4. 求出完整的圆心角：将半圆心角乘以 2，即得劣弧所对的完整圆心角。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由圆的方程 $x^2+y^2=4$ 可得： 圆心坐标为 $O(0,0)$，半径 $R=2$。

利用点到直线的距离公式，计算圆心 $O(0,0)$ 到直线 $\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$ 的距离（弦心距 $d$）： $d=\frac{|\sqrt{3}\times 0+0-2\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

设直线与圆交于 $A,B$ 两点，过圆心 $O$ 作 $OD\perp AB$ 于 $D$，则 $OD=d=\sqrt{3}$。 在直角 $△OAD$ 中，斜边 $OA=R=2$，直角边 $OD=\sqrt{3}$。 设半圆心角 $\angle AOD=\theta$，则： $\cos \theta =\frac{OD}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为 $\theta$ 是直角三角形的内角，且 $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以： $\theta =\frac{\pi }{6}$

直线截圆所得劣弧所对的圆心角为 $\angle AOB=2\theta$： $\angle AOB=2\times \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；圆中经典的“半径 $R$、弦心距 $d$、半弦长 $\frac{l}{2}$”构成的勾股直角三角形。
2. 核心方法：几何法。求解直线与圆的各种交点、弦长、角度问题时，利用平面几何性质（垂径定理）构筑直角三角形，比直接联立方程组求交点坐标要简洁得多。
3. 避坑指南：

• 混淆半角与全角：在直角三角形中直接求出的角度 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 只是完整圆心角的一半（半弦所对的角），最终结果切记要乘以 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自新教材中“直线与圆的位置关系”一节中的弦长与弧度计算。主要考查数形结合及平面几何定理在解析几何中的应用。
2. 结论推广：对于任意一条直线截半径为 $R$ 的圆，若求得弦心距为 $d$，则该直线截圆所得劣弧所对圆心角 $2\theta$ 的通解公式为： $2\theta =2\arccos \left(\frac{d}{R}\right)$ 代入本题数据：$2\theta =2\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\times \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2006-湖南文-07 单-圆上点到直线距离差
• 2005-全国卷II文-14 填-点到直线距离求圆方程
• 2007-安徽文-05 单-圆心到直线距离