1999-全国卷文-16 填-受限间隔的选垄计数

本题导读

本题考查排列组合中的间隔限制计数。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(文)） 在一块并排 $10$ 垄的田地中，选择 $2$ 垄分别种植 $A$、$B$ 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求 $A$、$B$ 两种作物的间隔不小于 $6$ 垄，则不同的选垄方法共有　　　种（用数字作答）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A,B$ 的垄号为 $i<j$，间隔不小于 $6$ 垄即 $j-i\ge 7$。
2. 列出可行垄号对，再考虑 $A,B$ 顺序。

✅【答案】

Success

$12$

✍【详细解析】

Abstract

设种植 $A$ 和 $B$ 的垄号分别为 $i$ 和 $j$，不妨设 $i<j$。“间隔不少于 $6$ 垄”表示两垄之间至少有 $6$ 垄，因此 $j-i\ge 7$。可行的无序垄号对为 $(1,8),(1,9),(1,10),(2,9),(2,10),(3,10)$，共 $6$ 对。每一对垄号中，$A,B$ 的种植顺序有 $2$ 种，所以不同的选垄方法共有 $6\times 2=12$ 种。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：受限间隔的选垄计数

核心方法：间隔不小于 $6$ 垄即 $j-i\ge 7$，无序对 $(1,8)(1,9)(1,10)(2,9)(2,10)(3,10)$ 共 $6$ 对，$A,B$ 有序 $2$ 种，共 $12$ 种

避坑指南：先定垄号对再定顺序

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材排列组合的应用

结论推广：一般地，间隔限制先定垄号对再排顺序

方法推广：先定对再定序

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-16 填-地图着色计数
• 2005-浙江卷文-14 填-排列组合至多至少计数
• 2006-辽宁文-16 填-排列组合特殊位置限制