1999-上海理-14 单-参数方程与普通方程的一致性

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的等价性，核心在于参数取值范围须与曲线完全一致。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 下列以 $t$ 为参数的参数方程所表示的曲线中，与方程 $xy=1$ 所表示的曲线完全一致的是()

A. $\{\begin{array}{l}x=t^{\frac{1}{2}},\\ y=t^{-\frac{1}{2}}\end{array}$　　B. $\{\begin{array}{l}x=|t|,\\ y=\frac{1}{|t|}\end{array}$

C. $\{\begin{array}{l}x=\cos t,\\ y=\sec t\end{array}$　　D. $\{\begin{array}{l}x=\tan t,\\ y=\cot t\end{array}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $xy=1$ 的曲线是两支双曲线（$x\ne 0$，$y\ne 0$）。
2. 逐项检查参数方程中 $x,y$ 的取值范围是否与之完全一致。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

方程 $xy=1$（$x\ne 0$）表示两支双曲线，$x$ 可取一切非零实数。A 中 $x=t^{\frac{1}{2}}$ 要求 $t>0$，只能表示第一象限一支，不一致；B 中 $x=|t|>0$，也只能表示第一象限一支，不一致；C 中 $x=\cos t\in [-1,0)\cup (0,1]$，只能表示双曲线中 $|x|⩽1$ 的部分，不一致；D 中 $x=\tan t$ 可取一切非零实数（$t\ne k\pi +\frac{\pi }{2}$ 时 $x\ne 0$，且 $x\ne 0$ 需排除 $t=k\pi$，此时 $y=\cot t$ 无意义），$y=\frac{1}{x}$ 恒成立，与 $xy=1$ 的曲线完全一致。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与普通方程的一致性

核心方法：A 仅第一象限一支、B 仅 $x>0$、C 中 $|x|\le 1$ 只是部分；D $x=\tan t$ 取遍 $x\ne 0$，与 $xy=1$ 完全一致

避坑指南：参数取值范围须与普通方程一致

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材参数方程

结论推广：一般地，参数方程与普通方程一致需参数取值范围一致

方法推广：逐项检查参数范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 2008-重庆文-03 单-参数方程化普通方程
• 2010-湖南卷文-04 单-极坐标与参数方程