1999-上海理-13 单-直线旋转与圆的位置关系

本题导读

本题考查直线的旋转与直线和圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（1999年上海卷(理)） 直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 绕原点按逆时针方向旋转 $30^{\circ }$ 后所得直线与圆 $(x-2{)}^2+y^2=3$ 的位置关系是()

A. 直线过圆心　　　　　　　　　　B. 直线与圆相交，但不过圆心

C. 直线与圆相切　　　　　　　　　D. 直线与圆没有公共点

🔍【思路分析】

破题导航

1. 原直线倾斜角 $30^{\circ }$，逆时针转 $30^{\circ }$ 后为 $60^{\circ }$，斜率 $\sqrt{3}$。
2. 求圆心到新直线的距离，与半径比较。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 的倾斜角为 $30^{\circ }$，绕原点逆时针旋转 $30^{\circ }$ 后倾斜角为 $60^{\circ }$，所得直线为 $y=\sqrt{3}x$，即 $\sqrt{3}x-y=0$。圆 $(x-2{)}^2+y^2=3$ 的圆心为 $(2,0)$，半径 $r=\sqrt{3}$。圆心到直线的距离 $d=\frac{|\sqrt{3}\cdot 2-0|}{\sqrt{3+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}=r$。距离等于半径，直线与圆相切，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线旋转与圆的位置关系

核心方法：斜率 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 逆时针转 $30^{\circ }$ 后倾斜角 $60^{\circ }$，直线 $y=\sqrt{3}x$，圆心 $(2,0)$ 到直线距离 $\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ 等于半径，相切

避坑指南：旋转定斜率 + 距离等于半径

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线与圆的位置关系

结论推广：一般地，$d=r$ 相切、$d<r$ 相交、$d>r$ 相离

方法推广：旋转定斜率再算距离

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-01 单-直线与圆相切求参数
• 2004-天津文-07 单-直线与圆的位置关系
• 2008-四川文-06 单-直线旋转与平移