1998-全国卷理-20 解-正弦定理与和差化积

本题导读

本题考查正弦定理与三角恒等变换。核心在于和差化积法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是角 $A,B,C$ 的对边，设 $a+c=2b$，$A-C=\frac{\pi }{3}$，求 $\sin B$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 边化角：利用正弦定理将已知边长关系 $a+c=2b$ 转化为角的正弦值关系：$\sin A+\sin C=2\sin B$。
2. 和差化积：对左侧 $\sin A+\sin C$ 应用和差化积公式，转化为包含 $\frac{A+C}{2}$ 和 $\frac{A-C}{2}$ 的乘积形式。
3. 角消元：利用三角形内角和 $A+B+C=\pi ⟹A+C=\pi -B$，将 $\frac{A+C}{2}$ 转换为 $\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2}$，从而与右侧的 $\sin B$ 建立联系。
4. 求解方程：代入 $A-C=\frac{\pi }{3}$，利用二倍角公式展开 $\sin B$，化简后求出 $\sin B$ 的值。

✅【答案】

Success

$\sin B=\frac{\sqrt{39}}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

根据正弦定理，有 $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$（其中 $R$ 为 $△ABC$ 的外接圆半径）。 将此代入已知条件 $a+c=2b$ 中，两边消去 $2R$ 得： $\sin A+\sin C=2\sin B\text{(1)}$

对①式左边应用和差化积公式： $2\sin \frac{A+C}{2}\cos \frac{A-C}{2}=2\sin B\text{(2)}$

在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，故 $A+C=\pi -B$，即： $\frac{A+C}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2}$ 代入诱导公式得： $\sin \frac{A+C}{2}=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2}\right)=\cos \frac{B}{2}$

同时，已知 $A-C=\frac{\pi }{3}$，故 $\frac{A-C}{2}=\frac{\pi }{6}$。代入已知值 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

将上述结果以及二倍角公式 $\sin B=2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}$ 一并代入②式中，得： $2\cos \frac{B}{2}\cdot \cos \frac{\pi }{6}=4\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}$ $2\cos \frac{B}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}⟹\sqrt{3}\cos \frac{B}{2}=4\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}$

因为 $B$ 是 $△ABC$ 的内角，所以 $0<B<\pi ⟹0<\frac{B}{2}<\frac{\pi }{2}$，故 $\cos \frac{B}{2}\ne 0$。 方程两边同时除以 $\cos \frac{B}{2}$ 得： $\sqrt{3}=4\sin \frac{B}{2}⟹\sin \frac{B}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

利用同角三角函数的基本关系，求出 $\cos \frac{B}{2}$ 的值： $\cos \frac{B}{2}=\sqrt{1-{\sin }^2\frac{B}{2}}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{13}}{4}$

最终，利用二倍角公式求 $\sin B$ 的值： $\sin B=2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}=2\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times \frac{\sqrt{13}}{4}=\frac{\sqrt{39}}{8}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的边角转换；和差化积公式 $\sin \theta +\sin \varphi =2\sin \frac{\theta +\varphi }{2}\cos \frac{\theta -\varphi }{2}$；倍角公式的逆向应用。 核心方法：恒等变形。在解三角形的大题中，通过内角和定理（$A+C=\pi -B$）进行消元是处理复合角的核心手段。 避坑指南：

• 两边约分漏掉根：在约去 $\cos \frac{B}{2}$ 时，必须严格说明其在对应区间内不为 0，否则直接约分是不严谨的。
• 符号选择：由于 $\frac{B}{2}$ 在第一象限，其余弦值 $\cos \frac{B}{2}$ 必须取正号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的由平面几何边长等差关系（$a,b,c$ 成等差数列）推导三角函数值的标准大题。主要考查任意角三角变换的代数基本功。 结论推广：若 $△ABC$ 的三边成等差数列（即 $a+c=2b$），且已知 $A-C=\alpha$，其内角 $B$ 的半角正弦值恒满足： $\sin \frac{B}{2}=\frac{1}{2}\cos \frac{\alpha }{2}$ 本题中 $\alpha =\frac{\pi }{3}⟹\frac{\alpha }{2}=\frac{\pi }{6}$，代入验证：$\sin \frac{B}{2}=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，符合推导结果。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-06 单-正弦定理解三角形
• 2006-江苏卷-11 填-正弦定理解三角形
• 2008-陕西文-13 填-正弦定理解三角形