1998-全国卷理-14 单-直角三角形三角函数的等比数列

本题导读

本题考查正弦定理，以及等比数列的性质。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为()

A. $\arccos \frac{\sqrt{5}-1}{2}$　　　　　B. $\arcsin \frac{\sqrt{5}-1}{2}$　　　　　C. $\arccos \frac{1-\sqrt{5}}{2}$　　　　　D. $\arcsin \frac{1-\sqrt{5}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入正弦定理转化：设直角三角形的三个内角分别为 $A,B,C$，对应的三边长分别为 $a,b,c$。已知 $\sin A,\sin B,\sin C$ 成等比数列，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 可知，其三边长 $a,b,c$ 也必成等比数列。
2. 设定边角关系：设 $C=90^{\circ }$ 为最大角，则 $c$ 为斜边。设 $A$ 为最小内角，则 $a$ 为最小边。三边从小到大依次为 $a,b,c$，且满足 $b^2=ac$。
3. 结合勾股定理建方程：由直角三角形满足 $a^2+b^2=c^2$，将 $b^2=ac$ 代入，得到关于 $a,c$ 的齐次方程。
4. 求解最小角：两边同除以 $c^2$，转化为关于 $\frac{a}{c}$（即 $\sin A$）的一元二次方程，解出 $\sin A$ 后用反三角函数表示形式锁定选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设直角三角形的三个内角从小到大依次为 $A,B,C$，它们对应的边长分别为 $a,b,c$。 因为三角形是直角三角形，所以最大的角 $C=90^{\circ }$，斜边为 $c$。其正弦值 $\sin C=\sin 90^{\circ }=1$。

已知三内角的正弦值 $\sin A,\sin B,\sin C$ 成等比数列，由正弦定理可知，对应的边长 $a,b,c$ 也成等比数列，满足： $b^2=ac\text{(1)}$

由于该三角形为直角三角形，由勾股定理得： $a^2+b^2=c^2\text{(2)}$

将①式代入②式中，消去 $b^2$ 得： $a^2+ac=c^2$

因为 $c>0$，在方程两边同时除以 $c^2$，得： ${\left(\frac{a}{c}\right)}^2+\frac{a}{c}-1=0$

在直角三角形中，最小内角 $A$ 的正弦值为 $\sin A=\frac{a}{c}$。代入上式，得到关于 $\sin A$ 的一元二次方程： ${\sin }^{2}A+\sin A-1=0$

利用求根公式解得： $\sin A=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\times 1\times (-1)}}{2\times 1}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$

因为 $A$ 是三角形的内角，所以 $\sin A>0$。舍去负根，得： $\sin A=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

由反三角函数的定义，最小内角 $A$ 可以表示为： $A=\arcsin \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的等价变形（角正弦成等比 $⟺$ 边长成等比）；直角三角形中的边角三角函数定义；一元二次方程的求根公式与特殊无理数（黄金分割比 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）。 核心方法：齐次方程消元法。将解析几何或平面几何中的双变量（$a$ 与 $c$）方程通过两边同除以高次项，转化为单变量（比值 $\frac{a}{c}$）方程求解。 避坑指南：

• 正负根的取舍：求根公式算出的结果有正有负，必须结合实际几何意义（正弦值在三角形内恒为正）将负根舍去。
• 反三角函数符号辨析：选项 C、D 中的 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 是负数，而直角三角形的锐角三角函数值必为正数，故可直接排除 C 和 D。
• 正弦与余弦的对应：本题求出的是 $\sin A$，若转换为余弦，由 ${\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A=1-{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}^2$ 可算得 $\cos A=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$，而非 A 选项的形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题是将平面几何中的黄金分割（Golden Section）特征与数列知识相融合的经典题型。在艺术和建筑学中，三边满足等比数列的直角三角形被称为“开普勒三角形”（Kepler triangle），其边长比为 $1:\sqrt{\varphi }:\varphi$（其中 $\varphi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）。 结论推广：若一个直角三角形的边长成等比数列，则其公比 $q$ 恒满足： $1+q^2=q^4⟹q=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ 其最小内角的正弦值恒为黄金分割数 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷文-12 填-正弦定理解三角形
• 2005-湖北卷文-18 解-正弦定理解三角形求面积
• 2006-山东文-06 单-正弦定理解三角形