1998-全国卷理-10 单-函数图象的单调性

本题导读

本题考查函数图象的单调性，以及变化率与导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 向高为 $H$ 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 $V$ 与水深 $h$ 的函数关系的图象如下图所示，那么水瓶的形状是()

🔍【思路分析】

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1. 建立微分几何关系：由微元法可知，注水量 $V$ 随水深 $h$ 的变化率（即图象的切线斜率）代表相应高度 $h$ 处的截面积 $S(h)$，即 $\frac{\text{d}V}{\text{d}h}=S(h)$。
2. 分析图象斜率趋势：观察给出的 $V-h$ 图象，曲线自左向右始终单调递增，但上升的趋势越来越平缓。这说明切线斜率（导数）随着水深 $h$ 的增加而逐渐减小。
3. 转化截面积变化：切线斜率逐渐减小，意味着水瓶在高度 $h$ 处的横截面积 $S(h)$ 随着高度的增加而逐渐减小（水瓶越往上越细）。
4. 比对选项模型：

• A 选项：下细上粗，横截面积随高度增加而增大；
• B 选项：下粗上细，横截面积随高度增加而减小；
• C 选项：两头粗中间细，横截面积先减小后增大；
• D 选项：圆柱体，横截面积保持不变。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

根据固体体积的微元性质，设水瓶在高度 $h$ 处的横截面积为 $S(h)$，则注水量 $V$ 与水深 $h$ 满足微分关系： $\frac{\text{d}V}{\text{d}h}=S(h)$

由数学中导数的几何意义可知，$\frac{\text{d}V}{\text{d}h}$ 对应于 $V-h$ 函数图象上各点切线的斜率。

观察题干中给出的 $V$ 与 $h$ 的函数图象：

1. 曲线是上凸的，随着水深 $h$ 从 $0$ 逐渐增加到 $H$，图象上各点切线的斜率明显由陡峭变得平缓。
2. 斜率逐渐减小，说明随高度 $h$ 的上升，水瓶对应的横截面积 $S(h)$ 逐渐变小。

对照各个选项的几何体：

• A 选项：是一个倒立的圆台，下底面小、上底面大，其横截面积 $S(h)$ 随高度的增加而增大，对应的 $V-h$ 图象斜率应逐渐增大（下凸形增长），与题意不符；
• B 选项：是一个正立的圆台，下底面大、上底面小，其横截面积 $S(h)$ 随高度的增加而减小，对应的 $V-h$ 图象斜率应逐渐减小（上凸形增长），符合题意；
• C 选项：是一个鼓形旋转体，横截面积随高度先减小后增大，对应的 $V-h$ 图象斜率应先减小后增大，与题意不符；
• D 选项：是一个圆柱体，横截面积 $S(h)$ 是定值，对应的 $V-h$ 图象应该是一条固定斜率的直线，与题意不符。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：动态函数图象的变化率特征（一阶导数符号决定单调性，二阶导数符号决定凹凸性）。 核心方法：斜率定性分析法。不需要列出具体的代数方程，只需通过“斜率大 $⟹$ 截面大 $⟹$ 同样水深体积增加快”、“斜率小 $⟹$ 截面小 $⟹$ 同样水深体积增加慢”的内在物理逻辑进行推理。 避坑指南：

• 极易由于主观思维惯性错选 A。错误地将此题联想为“匀速注水时，水深 $h$ 与时间 $t$ 的关系”。必须看清坐标轴的物理量：横轴是水深 $h$，纵轴是总体积 $V$。
• 明确区分直线的斜率（面积恒定）、上凸曲线的斜率（面积递减）和下凸曲线的斜率（面积递增）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查微积分基本定理在初等数学几何模型中的渗透。它属于“一图破题”的函数性质辨析题，在当今高考中经常以“容器注水问题”或“沙漏模型变化率”的形式出现，旨在考查数形结合与抽象应用意识。 结论推广：

• 若容器是均一的柱体（如 D 选项），则 $V(h)=S\cdot h$，图象为一次正比例实直线。
• 若容器形状满足截面积函数 $S(h)=k\cdot h+b$，则其体积函数 $V(h)={\int }_0^h(kh+b)\text{d}h=\frac{1}{2}k{h}^2+bh$，当 $k<0$ 时（如 B 选项，越往上越细），为开口向下的抛物线弧段（上凸）；当 $k>0$ 时（如 A 选项，越往上越粗），为开口向上的抛物线弧段（下凸）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.15 函数凹凸性定义
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-11 单-正切函数的图象与单调性
• 2004-浙江理-11 单-导函数的图象与原函数单调性的关系
• 2002-大纲理-09 单-二次函数的图象与单调性