1998-全国卷理-06 单-三角函数值的符号

本题导读

本题考查三角函数值的符号，以及各象限角的正负判定。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 已知点 $P(\sin \alpha -\cos \alpha ,\tan \alpha )$ 在第一象限，则在 $[0,2\pi ]$ 内 $\alpha$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)\cup \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$　　　　　　　　　　　　　　B. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$

C. $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)\cup \left(\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right)$　　　　　　　　　　　　D. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{4},\pi \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立不等式组：由第一象限点的横坐标和纵坐标均为正数，得到： $\{\begin{array}{l}\sin \alpha -\cos \alpha >0\\ \tan \alpha >0\end{array}$
2. 分析第二个不等式：由 $\tan \alpha >0$ 可知，角的终边只能落在第一象限或第三象限。
3. 结合第一个不等式分类讨论：

• 若 $\alpha$ 在第一象限，利用 $\sin \alpha >\cos \alpha$ 确定其精确范围。
• 若 $\alpha$ 在第三象限，利用 $\sin \alpha >\cos \alpha$ 确定其精确范围。

4. 求并集：将两种情况下的范围求并集，得出最终答案。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因为点 $P(\sin \alpha -\cos \alpha ,\tan \alpha )$ 在第一象限，所以其横、纵坐标均严格大于 0： $\{\begin{array}{l}\sin \alpha -\cos \alpha >0\text{(1)}\\ \tan \alpha >0\text{(2)}\end{array}$

由条件 ② $\tan \alpha >0$ 可知，$\alpha$ 的终边落在第一象限或第三象限：

• 情况 1：$\alpha$ 落在第一象限，即 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$。 此时 $\sin \alpha >0,\cos \alpha >0$。 由条件 ① 得 $\sin \alpha >\cos \alpha$，两边同除以 $\cos \alpha$ 得 $\tan \alpha >1$。 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内，满足 $\tan \alpha >1$ 的解为： $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$

• 情况 2：$\alpha$ 落在第三象限，即 $\alpha \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$。 此时 $\sin \alpha <0,\cos \alpha <0$。 由条件 ① 得 $\sin \alpha >\cos \alpha$，两边同除以 $\cos \alpha$（注意第三象限 $\cos \alpha <0$，不等号需改变方向）得： $\tan \alpha <1$ 在 $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 内，满足 $\tan \alpha <1$ 的解为： $\alpha \in \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$

综合上述两种情况，在 $[0,2\pi ]$ 内 $\alpha$ 的取值范围是 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：第一象限点满足 $(+,+)$；三角函数符号规律（一全正、二正弦、三正切、四余弦）。 核心方法：象限分类讨论法。通过 $\tan \alpha >0$ 将全周区间压缩至第一、三象限，可极大简化后续不等式的求解过程。 避坑指南：

• 除以负数漏变号：在第三象限由 $\sin \alpha >\cos \alpha$ 两边同除以 $\cos \alpha$ 时，因为 $\cos \alpha <0$，极易忘记将不等号方向改变，错解成 $\tan \alpha >1$，从而误选 C。
• 特殊值排除法：本题利用特殊值可实现快速排除。取 $\alpha =\frac{\pi }{3}$（第一象限），$\sin \frac{\pi }{3}-\cos \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}>0$，$\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}>0$，符合题意。因此 $\frac{\pi }{3}$ 必须在答案区间内。检查选项，A、C 的第一部分区间为 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)$ 不包含 $\frac{\pi }{3}$，直接排除 A、C；再取 $\alpha =\frac{7\pi }{6}$（第三象限），$\sin \frac{7\pi }{6}-\cos \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}-1}{2}>0$，$\tan \frac{7\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}>0$，符合题意。因此 $\frac{7\pi }{6}$ 必须在答案区间内，排除 D，锁定 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查任意角三角函数基本符号定义的掌握情况。通过点坐标的形式将三角函数符号问题与平面解析几何位置结合，是高考对基础知识进行综合考查的常见手段。 结论推广：通常，不等式 $\sin \alpha >\cos \alpha$ 的几何意义是指角的终边落在直线 $y=x$ 的上方区域。在 $[0,2\pi ]$ 里，该区域对应的范围为 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$。若加上 $\tan \alpha >0$（一、三象限），求其交集便能直接得到 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$。通过数形结合（在单位圆中画出直线 $y=x$ 及其上方区域）可以更加直观、快速地得出结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2004-辽宁卷-01 单-三角函数在各象限的符号特征
• 2007-浙江卷理-12 填-三角函数在不同象限符号判定
• 2007-辽宁卷理-05 单-三角函数在不同象限符号判定