1998-全国卷理-02 单-指数函数的图象

本题导读

本题考查指数型函数的图象与性质，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） 函数 $y=a^{|x|}(a>1)$ 的图象是()

🔍【思路分析】

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1. 分析特殊点（$y$ 轴截距）：令 $x=0$，求出对应的 $y$ 值，借此排除不经过该截距点的选项。
2. 分析奇偶性：用 $-x$ 代替 $x$，分析 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系，确定图象的对称轴。
3. 分析单调性：由于存在绝对值，分 $x>0$ 和 $x<0$ 讨论。当 $x>0$ 时， $y=a^x(a>1)$，结合底数大于 1 的指数函数性质确定其单调性，进而锁定正确图象。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

1. 求特殊点： 当 $x=0$ 时，$y=a^{|0|}=a^0=1$。 说明函数图象必过点 $(0,1)$。选项 A 中图象过原点 $(0,0)$，故排除 A。

2. 分析奇偶性： 设 $f(x)=a^{|x|}$，其定义域为 $\mathbb{R}$。 因为 $f(-x)=a^{|-x|}=a^{|x|}=f(x)$，所以该函数为偶函数。 偶函数的图象关于 $y$ 轴对称。四个选项均关于 $y$ 轴对称，无法据此排除。

3. 分析单调性： 当 $x\ge 0$ 时，$|x|=x$，此时函数解析式为 $y=a^x$。 已知 $a>1$，由指数函数的性质可知，当 $x\in [0,+\infty )$ 时，函数 $y=a^x$ 单调递增，且图象向上无限弯曲（呈爆炸式增长）。

• 选项 B 在 $x>0$ 侧单调递增，且过 $(0,1)$ 点，符合要求；
• 选项 C 在 $x>0$ 侧单调递减，故排除 C；
• 选项 D 在 $x>0$ 侧虽然单调递增，但增长速度变缓（属于对数型或幂函数型增长形态），不符合底数大于 1 的指数函数特征，故排除 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数 $y=a^x(a>1)$ 的图象特征，以及利用偶函数性质将整个 $x\in \mathbb{R}$ 的图象简化为只研究 $x\ge 0$ 的部分。 核心方法：图象选择题常用“排除法”。优先验证特殊点（如 $x=0$ 或 $x=1$），其次验证对称性（奇偶性），最后验证趋势（单调性与凹凸性）。 避坑指南：

• 易错选 D。需要明确 $a>1$ 时，指数函数 $y=a^x$ 在 $x>0$ 处的图象是陡峭上升的凹曲线，而非像 D 选项那样平缓上升的凸曲线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于对函数经典变换 $s(x)\to s(|x|)$ 的考查。教材中通常会通过已知 $y=f(x)$ 的图象来画出 $y=f(|x|)$ 的图象，其作图口诀为：“保留 $y$ 轴右侧，擦去 $y$ 轴左侧，再将右侧沿 $y$ 轴翻折到左侧”。 结论推广：对于任意函数 $y=f(|x|)$，其解析式天然满足 $f(|-x|)=f(|x|)$，因此它必定是一个偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称。若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，则 $f(|x|)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-\infty ,0]$ 上单调递减。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-02 单-指数函数与对数函数的图象
• 1988-全国文-04 单-指数函数的图象
• 1996-上海文-08 单-二次函数与指数函数的图象