1998-全国卷理-01 单-诱导公式求三角函数值

本题导读

本题考查任意角的三角函数求值，以及诱导公式与特殊角的三角函数值。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(理)） $\sin 600^{\circ }$ 的值是()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 角度周期转化：利用正弦函数以 $360^{\circ }$ 为周期，将 $600^{\circ }$ 写成 $360^{\circ }\times 1+240^{\circ }$ 的形式，转化为求 $\sin 240^{\circ }$。
2. 应用诱导公式：将 $240^{\circ }$ 写成 $180^{\circ }+60^{\circ }$，利用公式 $\sin (180^{\circ }+\alpha )=-\sin \alpha$ 进行化简。
3. 代入特殊角计算：代入 $\sin 60^{\circ }$ 的标准数值，确定最终结果与选项。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

根据正弦函数的周期性，有： $\sin 600^{\circ }=\sin (360^{\circ }+240^{\circ })=\sin 240^{\circ }$

再利用诱导公式 $\sin (180^{\circ }+\alpha )=-\sin \alpha$，得： $\sin 240^{\circ }=\sin (180^{\circ }+60^{\circ })=-\sin 60^{\circ }$

熟记特殊角的三角函数值知 $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故： $-\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：终边相同角的三角函数性质 $\sin (\alpha +k\cdot 360^{\circ })=\sin \alpha (k\in \mathbb{Z})$，以及第三象限角的正弦值符号特征（为负）。 核心方法：大角化小角，小角化锐角。 避坑指南：

• 符号极易出错。确定 $240^{\circ }$ 属于第三象限角后，应当明确其正弦值为负数，从而直接排除 A 和 C 选项。
• 避免将 $\sin 60^{\circ }$ 的数值与 $\cos 60^{\circ }$ 或 $\tan 60^{\circ }$ 记混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于基础教材中“任意角的三角函数”章节的课后基础练习题，作为高考试卷的第一题，旨在稳定考生心态，考查基本运算功底。 结论推广：对于任意型如 $\sin (k\cdot 180^{\circ }+\alpha )(k\in \mathbb{Z})$ 的式子，其结果满足： $\sin (k\cdot 180^{\circ }+\alpha )=(-1{)}^k\sin \alpha$ 本题中 $600^{\circ }=3\times 180^{\circ }+60^{\circ }$，由于 $k=3$ 为奇数，故直接得出 $(-1{)}^3\sin 60^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅰ文-01 单-诱导公式求值
• 1987-广东文-01 单-诱导公式求值
• 1986-广东理-14 单-反三角函数的求值