1998-全国卷文-19 填-三角函数的命题判定

本题导读

本题考查正弦型函数的零点、对称性等性质，以及命题真假的判定。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 关于函数 $f(x)=4\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$（$x\in \mathbf{R}$），有下列命题： ① 由 $f(x_1)=f(x_2)=0$ 可得 $x_1-x_2$ 必是 $\pi$ 的整数倍； ② $y=f(x)$ 的表达式可改写为 $y=4\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$； ③ $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\frac{\pi }{6},0\right)$ 对称； ④ $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\frac{\pi }{6}$ 对称. 其中正确的命题的序号是 $\underline{}$.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求零点，判断零点差是否恒为 $\pi$ 整数倍。
2. 由 $\sin \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$ 判断②。
3. 判断零点是否为中心对称点、是否为对称轴。

✅【答案】

Success

②③

✍【详细解析】

Abstract

命题①中，令 $2x+\frac{\pi }{3}=k\pi$，则函数零点为 $x=\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{6}$。两个零点之差为 $\frac{(k_1-k_2)\pi }{2}$，不一定是 $\pi$ 的整数倍，所以命题①错误。命题②由 $\sin \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$ 得 $4\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=4\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x-\frac{\pi }{3}\right)=4\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，所以命题②正确。当 $x=-\frac{\pi }{6}$ 时，函数值为零；正弦函数图象关于每一个零点中心对称，所以命题③正确。直线对称轴应满足 $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$，即 $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$，故 $x=-\frac{\pi }{6}$ 不是对称轴，命题④错误。因此正确命题的序号是②③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的命题判定

核心方法：零点差 $\frac{(k_1-k_2)\pi }{2}$ 不恒为 $\pi$ 整数倍，①错；$\sin$ 化 $\cos$ 得②对；$x=-\frac{\pi }{6}$ 是零点故③对；对称轴方程 $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$ 不含 $-\frac{\pi }{6}$，④错，故②③

避坑指南：逐命题验证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角函数的图象与性质

结论推广：一般地，零点差、对称轴须逐命题验证

方法推广：逐命题验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1999-上海文-06 填-三角函数的最小正周期
• 2001-新课标理-01 单-正弦型函数的周期与振幅
• 2002-上海卷文-10 填-正弦型函数偶函数定参