1998-全国卷文-13 单-球面距离与球半径

本题导读

本题考查球面距离与球半径，以及由球心角定弦长。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 球面上有 $3$ 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 $\frac{1}{6}$，经过这 $3$ 个点的小圆的周长为 $4\pi$，那么这个球的半径为()

A. $4\sqrt{3}$　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　C. $2\sqrt{6}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由球面距离为大圆 $\frac{1}{6}$ 得球心角与弦长。
2. 三点构成等边三角形，外接圆为小圆，由小圆周长求半径。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$。任意两点的球面距离为大圆周长的 $\frac{1}{6}$，所以这两点所对的球心角为 $\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$，两点间的弦长为 $2R\sin \frac{\pi }{6}=R$。因而这三个点在同一平面内构成边长为 $R$ 的等边三角形，其外接圆就是题目所说的小圆。设小圆半径为 $r$，等边三角形外接圆半径满足 $r=\frac{R}{\sqrt{3}}$。又小圆周长为 $4\pi$，所以 $2\pi r=4\pi$，即 $r=2$。因此 $R=2\sqrt{3}$，选 B。 （说明：本题原卷所印选项与题干文字错位，按题干计算所得值 $2\sqrt{3}$ 裁定为 B。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球面距离与球半径

核心方法：两点球面距离为大圆 $\frac{1}{6}$，故球心角 $\frac{\pi }{3}$，弦长 $=R$；三弦构成等边三角形，外接圆（小圆）半径 $r=\frac{R}{\sqrt{3}}=2$，故 $R=2\sqrt{3}$

避坑指南：弦长与球心角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材球的几何性质

结论推广：一般地，球面距离由球心角确定，弦长 $=2R\sin \frac{\theta }{2}$

方法推广：弦长与球心角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-12 单-正四面体外接球
• 2004-全国卷II文-10 单-球心到截面距离
• 2005-全国卷I文-02 单-球的截面与表面积