1998-全国卷文-06 单-由点的象限求角的取值范围

本题导读

本题考查由点所在象限判断角的取值范围，以及三角不等式的求解。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 已知点 $P(\sin \alpha -\cos \alpha ,\tan \alpha )$ 在第一象限，则在 $[0,2\pi ]$ 内 $\alpha$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)\cup \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$

C. $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4}\right)\cup \left(\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right)$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{4},\pi \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一象限需横、纵坐标均为正。
2. 由 $\tan \alpha >0$ 与 $\sin \alpha -\cos \alpha >0$ 分别求区间再取交集。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

点 $P$ 在第一象限等价于 $\tan \alpha >0$ 且 $\sin \alpha -\cos \alpha >0$。在 $[0,2\pi ]$ 内，$\tan \alpha >0$ 给出 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$。又 $\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{2}\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)>0$，即 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)>0$，给出 $\alpha -\frac{\pi }{4}\in (2k\pi ,2k\pi +\pi )$，即 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right)$。取交集得到 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ,\frac{5\pi }{4}\right)$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由点的象限求角的取值范围

核心方法：第一象限需 $\tan \alpha >0$ 且 $\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{2}\sin (\alpha -\frac{\pi }{4})>0$，交得 $\alpha \in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})\cup (\pi ,\frac{5\pi }{4})$，选 B

避坑指南：逐条件取交集

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角不等式与象限角

结论推广：一般地，先由各条件定区间再取交集

方法推广：逐条件取交集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2002-大纲文-05 单-三角不等式区间
• 2007-北京文-01 单-象限角符号判断
• 2005-北京卷文-06 单-锐角三角不等式