1997-全国卷理-18 填-三角函数的恒等求值

本题导读

本题考查两角和与差的正弦公式，以及两角和与差的余弦公式。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） $\frac{\sin 7^{\circ }+\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ }}{\cos 7^{\circ }-\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ }}$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

观察角度关系：分子与分母中同时出现了 $7^{\circ },15^{\circ },8^{\circ }$ 这三个非特殊角。显然，它们满足数量关系： $7^{\circ }=15^{\circ }-8^{\circ }$ 替换并展开 $7^{\circ }$：

• 将分子中的 $\sin 7^{\circ }$ 替换为 $\sin (15^{\circ }-8^{\circ })$，并用两角差的正弦公式展开。
• 将分母中的 $\cos 7^{\circ }$ 替换为 $\cos (15^{\circ }-8^{\circ })$，并用两角差的余弦公式展开。 合并同类项并约分：展开后与后面的项合并，抵消重叠项，最终化简为单项正切形式得出具体数值。

✅【答案】

Success

$2-\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

利用拆角关系展开分子与分母 注意到 $7^{\circ }=15^{\circ }-8^{\circ }$。

1. 化简分子： 将 $\sin 7^{\circ }$ 展开： $\sin 7^{\circ }=\sin (15^{\circ }-8^{\circ })=\sin 15^{\circ }\cos 8^{\circ }-\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ }$ 代入分子代数式中： $\text{分子}=(\sin 15^{\circ }\cos 8^{\circ }-\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ })+\cos 15^{\circ }\sin 8^{\circ }$ 消去正负相反项，得： $\text{分子}=\sin 15^{\circ }\cos 8^{\circ }$

2. 化简分母： 将 $\cos 7^{\circ }$ 展开： $\cos 7^{\circ }=\cos (15^{\circ }-8^{\circ })=\cos 15^{\circ }\cos 8^{\circ }+\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ }$ 代入分母代数式中： $\text{分母}=(\cos 15^{\circ }\cos 8^{\circ }+\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ })-\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ }$ 消去正负相反项，得： $\text{分母}=\cos 15^{\circ }\cos 8^{\circ }$

整体代回原式约分求值 将化简后的分子与分母组合： $\text{原式}=\frac{\sin 15^{\circ }\cos 8^{\circ }}{\cos 15^{\circ }\cos 8^{\circ }}$

两边同时约去非零公共因子 $\cos 8^{\circ }$： $\text{原式}=\frac{\sin 15^{\circ }}{\cos 15^{\circ }}=\tan 15^{\circ }$

计算 $\tan 15^{\circ }$ 的确切数值 利用半角公式或特殊角差（$15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$）求解： $\tan 15^{\circ }=\tan (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\tan 45^{\circ }-\tan 30^{\circ }}{1+\tan 45^{\circ }\tan 30^{\circ }}$ $\tan 15^{\circ }=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1\times \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$ 分子分母同时分母有理化（乘以 $3-\sqrt{3}$）： $\tan 15^{\circ }=\frac{(3-\sqrt{3}{)}^2}{3^2-(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{9-6\sqrt{3}+3}{9-3}=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}=2-\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和差公式的顺用与合并；特殊角 $\tan 15^{\circ }$ 的有理化计算。 核心方法：“拆角法”。通过在复杂的非特殊角式子中敏锐捕捉到角度间的和差关联，实现消元。 避坑指南：

• 两角差余弦符号陷阱：在展开 $\cos (15^{\circ }-8^{\circ })$ 时，展开式中间必须是加号（$\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$），极易误记为减号导致无法与后方的 $-\sin 15^{\circ }\sin 8^{\circ }$ 项实现精准相消。
• 最终化简到 $\tan 15^{\circ }$ 后，应熟练掌握其结果 $2-\sqrt{3}$，避免在考场上重复进行冗长的小分式有理化推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于典型的三角求值题，考查恒等变换的结构化简，取材于高一数学教材中“两角和与差的三角函数公式”章节后的拓展研究拉分填空题。 结论推广：对于任意满足角度关系 $\alpha -\beta =\gamma$ 的广义三角分式，存在固定的对偶相消算子模型： $\frac{\sin \gamma +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta }=\tan \alpha$ 本题验证：直接代入本题参数 $\alpha =15^{\circ },\beta =8^{\circ },\gamma =7^{\circ }$，即可实现直接一秒心算出最终化简结果为 $\tan 15^{\circ }$。这一模型在各类高考三角函数填空压轴题中具有极高的复用价值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-01 填-正切和角求值
• 2003-大纲文-02 单-二倍角正切求值
• 2002-新课标文-14 填-二倍角求余切