1997-全国卷理-09 单-参数方程化普通方程

本题导读

本题考查参数方程化普通方程，以及消参方法（代入消参法）。

📌【题干】

Question

（1997年全国卷(理)） 曲线的参数方程是 $\{\begin{array}{l}x=1-\frac{1}{t}\\ y=1-t^2\end{array}(t\text{ 是参数},t\ne 0)$，它的普通方程是 ()

A. $(x-1{)}^2(y-1)=1$　　　　　　　B. $y=\frac{x(x-2)}{(1-x{)}^2}$ C. $y=\frac{1}{(1-x{)}^2}-1$　　　　　　　　D. $y=\frac{x}{1-x^2}+1$

🔍【思路分析】

破题导航

分离参数 $t$：从第一个方程 $x=1-\frac{1}{t}$ 中，将 $\frac{1}{t}$ 或 $t$ 用含有 $x$ 的代数式显性表示出来。 代入消参：将求出的 $t$ 或 $t^2$ 的表达式代入第二个方程 $y=1-t^2$ 中，完全消去参数 $t$。 整理代数式：将得到的普通方程进行通分或移项化简，比对选项锁定正确答案。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由第一个方程解出参数 $t$ 已知第一个参数方程为： $x=1-\frac{1}{t}$ 移项可得： $\frac{1}{t}=1-x$ 由于 $t\ne 0$，两边取倒数解得 $t$ 关于 $x$ 的表达式： $t=\frac{1}{1-x}$

将 $t$ 代入第二个方程消参 已知第二个参数方程为： $y=1-t^2$ 将 $t=\frac{1}{1-x}$ 代入上式中： $y=1-{\left(\frac{1}{1-x}\right)}^2=1-\frac{1}{(1-x{)}^2}$

化简并比对选项 将上一步得到的方程进行通分： $y=\frac{(1-x{)}^2-1}{(1-x{)}^2}$ 展开分子： $y=\frac{(1-2x+x^2)-1}{(1-x{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(1-x{)}^2}$ 因式分解分子： $y=\frac{x(x-2)}{(1-x{)}^2}$

比对四个选项，该结果与 B 选项完全一致。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程的消参技术；代入消参法的代数步骤。 核心方法：通过分式平移孤立参数项，完成整体或单项代换。 避坑指南：在通分合并 $(1-x{)}^2-1$ 时，注意符号的变化。部分学生若选择将 $y=1-\frac{1}{(1-x{)}^2}$ 移项变形为 $(1-x{)}^2(1-y)=1$，容易因看错正负号而误选 A（A 选项中是 $y-1$ 而非 $1-y$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于基础的坐标系与参数方程互化题，直接取材于高中数学选修板块“坐标系与参数方程”中关于“参数方程化为普通方程”的课后基本训练习题。 结论推广：对于形如 $\{\begin{array}{l}x=h+\frac{a}{t}\\ y=k+b{t}^2\end{array}$ 的广义倒数平方型参数方程，其通用的普通方程消参映射结构可固化为：$y=k+\frac{a{b}^2}{(x-h{)}^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程

类题演练 (Links)

• 1999-上海文-14 单-参数方程与普通方程的一致性
• 1998-全国卷文-03 单-直线与圆相切的条件
• 2002-大纲文-01 单-直线与圆相切求参数