本题导读
本题考查等面四面体（非正四面体）的性质，以及二面角的平面角概念。
📌【题干】
Question
（1997年全国卷(理)） 已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ，，则以 为棱，以面 与面 为面的二面角的大小是 ()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
理清等面四面体的边长关系：由于三个侧面与底面 全等，且底面三边长为 。可以推导出对应相交棱的长度。在以 为公共棱的两个面 与 中，由于全等，它们都是以 为底边的等腰三角形，即 。 作出二面角的平面角：
- 取 的中点 。因为 和 都是以 为底边的等腰三角形，所以 且 。
- 根据二面角的定义， 即为所求二面角 的平面角。 在 中求角：
- 计算等腰三角形底边上的中线（高） 和 。
- 确定对棱 的长度（利用全等面对应的边长关系）。
- 在 中运用余弦定理求出 。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
明确三棱锥的各个边长 因为三棱锥 的三个侧面与底面 全等，底面三边长为 。 与底面公共棱为 的侧面是 ，由于全等，且 是公共边，所以 。 因此有： 同理，分析其余侧面全等对应的边长组合可知，相对的棱长相等（等面四面体性质），因此：
作出二面角的平面角并求其边长 取 的中点 ，连接 和 。
- 在等腰 中，因为 ， 是底边 的中点，所以 。
- 在等腰 中，因为 ， 是底边 的中点，所以 。
因为 且 ，所以 就是二面角 的平面角。
在 Rt 中， ， 。由勾股定理可得： 由于 ，其对应中线相等，故：
在 中利用余弦定理求角 在 中，三边长分别为 。 由余弦定理可得：
因为 ，且二面角的平面角 ，所以：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：等面四面体的边长对应规律；二面角平面角的“二面角定义法”作图；余弦定理。 核心方法：“中点垂线法”。利用相邻两个面均为等腰三角形且共底边的特殊结构，取底边中点连线直接构造出二面角的平面角。 避坑指南：
- 对棱长度判定陷阱：本题的关键点和易错点在于确定 的长度。必须理解“三个侧面与底面全等”的空间封闭图形中，各边长的排布规律。对于等面四面体，任意一组相对的棱（异面直线）其长度必然相等，即 。若误将 算成 会导致错选 A。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题考查等面四面体（每个面都全等的四面体）的经典几何性质，属于高考立体几何板块的中档核心题型，直接源自教材中二面角定义的课后拓展研究。 结论推广： 射影面积法（秒杀技巧）：对于任意等面四面体，其四个面的面积均相等，记为 。设任意两个相邻面所成二面角为 ，根据等面四面体的特殊射影性质，其中一个面在另一个面上的射影面积恰好等于另外两个面面积之差的代数表现。特别地，对于本题这种由三个侧面与底面全等构成的四面体，若将其以某一棱为轴展开，可证其四个面在空间坐标系中的法向量比例关系。 更普遍的结论是：若四面体每个面面积均为 ，由顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面三角形的外心。由于各面面积相等，利用各面在底面射影的面积平衡关系 ，在等面四面体中，相对两棱中点连线（如 ）必然同时垂直于这两条对棱。
🔗【关联脉络】
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