1996-全国卷理-06 单-辅助角公式求最值

本题导读

本题考查辅助角公式（两角和与差的正弦公式），以及三角函数在闭区间上的值域与最值。

📌【题干】

Question

（1996年全国卷(理)） 当 $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ 时，$f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$ 的 ()

A. 最大值是 1，最小值是 -1　　　B. 最大值是 1，最小值是 $-\frac{1}{2}$ C. 最大值是 2，最小值是 -2　　　D. 最大值是 2，最小值是 -1

🔍【思路分析】

破题导航

应用辅助角公式化简：对于形如 $A\sin x+B\cos x$ 的结构，利用公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$ 将其合并为单一的正弦型函数。 确定新自变量（整体）的取值范围：已知 $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$，在此范围各部分同时加上辅助角 $\phi$，求出复合角 $\theta =x+\phi$ 的实际变化区间。 结合图象性质求解最值：观察正弦函数 $y=\sin \theta$ 在新区间内的单调性与特殊值点，乘以外部系数即可锁定最大值与最小值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

利用辅助角公式化简函数解析式 对于 $f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$，提取系数平方和的根 $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$： $f(x)=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$ 因为 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$，$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用两角和的正弦公式展开逆向合并： $f(x)=2\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$

求解复合角（整体变量）的取值范围 已知自变量 $x$ 的限制范围为： $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ 不等式各部分同时加上 $\frac{\pi }{3}$： $-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\le x+\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$ 通分化简得： $-\frac{\pi }{6}\le x+\frac{\pi }{3}\le \frac{5\pi }{6}$

结合正弦函数图象判定最值 令 $\theta =x+\frac{\pi }{3}$，考查基本函数 $y=\sin \theta$ 在区间 $\theta \in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上的值域。

• 求最大值：因为 $\frac{\pi }{2}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$，所以当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，正弦值取得最大值 $\sin \frac{\pi }{2}=1$。 此时 $f(x{)}_{\text{max}}=2\times 1=2$。
• 求最小值：由于正弦函数在 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$ 递增，在 $\left[\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}\right]$ 递减，最小值必然在两个边界端点处取得。
  • 左边界：$\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$；
  • 右边界：$\sin \left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$。 经比较，最小值为 $-\frac{1}{2}$。 此时 $f(x{)}_{\text{min}}=2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$。

综上，该函数的最大值是 2，最小值是 -1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$ 的应用；正弦型函数在指定闭区间的值域分析。 核心方法：“整体换元思想”。将 $x+\frac{\pi }{3}$ 视为一个整体变量 $\theta$，动态推导 $\theta$ 的边界，是规避三角函数区间最值多值性与不对称性失误的唯一通法。 避坑指南：

• 盲目公式陷阱：极易错选 C。很多学生看到 $f(x)=2\sin (x+\frac{\pi }{3})$ 就想当然地认为最大值是 2，最小值是 -2。这忽略了自变量受限（$-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$）的前提，只有在 $x\in \mathbb{R}$ 无界时才能取遍 $[-2,2]$。
• 分数加减计算（如 $-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}$）时，务必细心通分，防止边界弧度算错导致最值颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于三角函数图象与性质板块的常青树题型，取材于教材中“两角和与差的正弦公式”和“正弦函数的性质”两个核心知识点的深度交汇综合，用以评估学生逻辑的严密性。 结论推广： 对于一般形式的受限三角函数 $f(x)=A\sin x+B\cos x$ 在区间 $x\in [-M,M]$（$0<M\le \frac{\pi }{2}$）上的最值问题，可统一归纳为辅助斜率模型： 设 $R=\sqrt{A^2+B^2}$，辅助角 $\phi =\text{arctan}\frac{B}{A}$（此处以 $A>0,B>0$ 为例）。 其整体角取值范围为 $\theta \in [\phi -M,\phi +M]$。

• 若 $\frac{\pi }{2}\in [\phi -M,\phi +M]$，则最大值恒为 $f(x{)}_{\text{max}}=R$；
• 最小值必然在两端点 $f(-M)$ 或 $f(M)$ 中较小的一个取得。 掌握这一参数边界模型，在解决各类一阶线性正余弦组合振幅的最值、值域大题时均可一键验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1998-上海文-02 填-三角函数的最值
• 1999-上海文-06 填-三角函数的最小正周期
• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值