1995-全国卷理-01 单-集合的包含关系与补集

本题导读

本题考查集合的包含关系与交集运算，以及补集的概念与性质。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(理)） 已知 $I$ 为全集，集合 $M,N\subseteq I$，若 $M\cap N=N$，则 ()

A. $\overline{M}\supseteq \overline{N}$　　　　　B. $M\subseteq \overline{N}$　　　　　C. $\overline{M}\subseteq \overline{N}$　　　　　　D. $M\supseteq \overline{N}$

🔍【思路分析】

破题导航

转化交集条件：由 $M\cap N=N$ 这一基础交集运算性质，可直接转化为两个集合之间的包含关系：$N\subseteq M$。 应用补集性质：根据集合补集的几何与代数性质，若 $N\subseteq M$，则在全集 $I$ 中两者的补集包含关系发生方向反转，即 $\overline{M}\subseteq \overline{N}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 $M\cap N=N$， 根据交集的运算性质，若两集合的交集等于其中一个集合，则这个集合是另一个集合的子集。 所以： $N\subseteq M$

在全集 $I$ 中，根据补集的性质，若一个集合被另一个集合包含，则它的补集必然包含另一个集合的补集。 即：由 $N\subseteq M$ 可得： $\overline{M}\subseteq \overline{N}$

观察选项，C 选项符合该等价关系。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合包含关系的等价性：$A\cap B=A⟺A\subseteq B⟺\overline{B}\subseteq \overline{A}$。
2. 核心方法：
   • 符号法则：取补集算子（上划线）具有让包含关系符号（$\subseteq$ 或 $\supseteq$）调转方向的功能。
   • 韦恩图法：画出一个大圆表示 $M$，大圆内部画一个小圆表示 $N$，此时小圆外部的部分（$\overline{N}$）显然比大圆外部的部分（$\overline{M}$）更大，故 $\overline{M}\subseteq \overline{N}$。
3. 避坑指南：容易混淆包含符号的方向。A 选项中 $\overline{M}\supseteq \overline{N}$ 刚好将方向弄反，应特别注意“小集合的补集大，大集合的补集小”这一物理直觉。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自课本集合一章关于“子集、交集与补集”的随堂巩固基础练习题，用于测试高一学生对基础集合符号的敏感度。
2. 结论推广：在全集 $I$ 内，对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，以下五个条件完全等价： $A\subseteq B⟺A\cap B=A⟺A\cup B=B⟺\overline{B}\subseteq \overline{A}⟺A\cap \overline{B}=\varnothing$ 该性质是简化高考各类集合、逻辑充要条件题目的通用判别式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-01 单-集合的交集与补集
• 1996-上海文-01 单-集合的交集
• 1997-全国卷文-01 单-集合的交集与一元二次不等式