1993-旧高考理-23 填-反函数值的求法

本题导读

本题考查反函数的定义与性质，以及指数方程的解法。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 设 $f(x)=4^x-2^{x+1}$，则 $f^{-1}(0)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

运用反函数性质转化：令 $f^{-1}(0)=x_0$。根据反函数的几何与映射定义，该式等价于 $f(x_0)=0$。 建立指数方程：将 $x_0$ 代入原函数中，列出方程： $4^{x_0}-2^{x_0+1}=0$。 指数同底化变形：将 $4^{x_0}$ 变形为 $(2^{x_0}{)}^2$，将 $2^{x_0+1}$ 展开为 $2\cdot 2^{x_0}$。 求解方程并检验：利用换元法或因式分解法求出 $2^{x_0}$ 的值，进而解出 $x_0$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设目标反函数的值为 $x_0$，即： $f^{-1}(0)=x_0$

根据反函数的数学定义，自变量与因变量的对应映射关系互逆，上述等式完全等价于： f(x_0) = 0 \tag{1}

将已知原函数 $f(x)=4^x-2^{x+1}$ 代入 (1) 式中，建立关于 $x_0$ 的指数方程： 4^{x_0} - 2^{x_0+1} = 0 \tag{2}

利用幂的运算法则，将方程中的各项统一化为以 2 为底数的同底指数幂结构：

• $4^{x_0}=(2^2{)}^{x_0}=(2^{x_0}{)}^2$
• $2^{x_0+1}=2^1\cdot 2^{x_0}=2\cdot 2^{x_0}$

将化简后的项代回方程 (2) 中： $(2^{x_0}{)}^2-2\cdot 2^{x_0}=0$

提取公因式 $2^{x_0}$ 进行因式分解： 2^{x_0}(2^{x_0} - 2) = 0 \tag{3}

因为对任意实数 $x_0$，指数函数的值域恒满足 $2^{x_0}>0$，所以第一项因式不可能为 0。 方程 (3) 有解当且仅当第二项因式为 0： $2^{x_0}-2=0⟹2^{x_0}=2^1$

根据指数函数的单调性（或底数相等指数相等），直接解得： $x_0=1$

即 $f^{-1}(0)=1$。

后答：1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的映射性质（$f(A)=B⟺f^{-1}(B)=A$），同底指数方程的因式分解。
2. 核心方法：逆映射化归法。
3. 避坑指南：
   • 避免盲目求反函数解析式。很多考生一看到 $f^{-1}(0)$，习惯性地开始通解 $y=4^x-2^{x+1}$ 的反函数表达式，由于该式涉及一元二次方程求根公式及对数换元，过程极其繁琐且极易发生计算失误。牢记：求反函数在某点的具体值，永远优先采用原函数解方程的方法。
   • 注意指数函数的正负号限制。在消去 $2^{x_0}$ 时需明确其恒大于 0 的基本事实。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于函数与方程板块的入门级基础填空题。取材于高中代数教材中“反函数的概念”与“指数方程解法”两节的常见课后达标练习题。
2. 结论推广：对于任意形式为 $f(x)=a^{2x}-c\cdot a^x$ （$a>0,a\ne 1,c>0$）的复合指数函数，求其在 0 处的反函数值，可直接通过通用推广方程进行： $f(x)=0⟹a^{2x}=c\cdot a^x⟹a^x=c⟹f^{-1}(0)={\log }_{a}c$ 本题中 $a=2,c=2$，代入推广公式直接口算得： $f^{-1}(0)={\log }_{2}2=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-06 填-指数方程解法
• 1958-四川-06 解-换元解指数方程
• 1958-安徽-02 解-两小问综合（对数方程组指数方程）