1993-旧高考理-10 单-不等式性质的判定

本题导读

本题考查不等式的基本性质，以及指数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(理)） 若 $a$、 $b$ 是任意实数，且 $a>b$，则 ()

A. $a^2>b^2$　B. $\frac{b}{a}<1$　　C. $\lg (a-b)>0$　　D. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a<{\left(\frac{1}{2}\right)}^b$

🔍【思路分析】

破题导航

分析 A 选项：平方运算的单调性与底数的正负号密切相关。可通过一正一负的特殊值检验其是否恒成立。 分析 B 选项：分式的变形涉及两侧同除以一个数，必须考虑分母是否可能为零，以及分母的正负号对不等号方向的影响。 分析 C 选项：对数函数的值不仅取决于自变量的大小，更取决于自变量与 1 的大小关系。 分析 D 选项：观察结构，属于底数为 $\frac{1}{2}$ 的指数函数模型 $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$。利用底数小于 1 时函数在实数集上单调递减的性质进行判定。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解： 方法一（性质分析法）：

• 对于 A 选项：只有当 $a>b\ge 0$ 时，才有 $a^2>b^2$。若 $a,b$ 为负数时结论不一定成立。例如取 $a=1,b=-2$，满足 $1>-2$，但 $a^2=1,b^2=4$，此时 $a^2<b^2$，故 A 错误。
• 对于 B 选项：实数 $a$ 的正负及是否为零未作限制。若 $a=0$，则分式 $\frac{b}{a}$ 根本无意义；若 $a=-1,b=-2$，满足 $-1>-2$，但 $\frac{b}{a}=\frac{-2}{-1}=2>1$，故 B 错误。
• 对于 C 选项：由 $a>b⟹a-b>0$，满足对数函数的定义域要求。但只有当真数 $a-b>1$ 时，才有 $\lg (a-b)>\lg 1=0$。若取 $a=2,b=1.5$，满足 $a>b$，此时 $a-b=0.5$，而 $\lg 0.5<0$，故 C 错误。
• 对于 D 选项：构造指数函数 $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$。由于该函数的底数满足 $0<\frac{1}{2}<1$，根据指数函数的图象与性质， $f(x)$ 在实数集 $\mathbf{R}$ 上是一个严格的单调递减函数。 因为已知 $a>b$，根据单调递减函数的定义（自变量越大，函数值越小），必然有： $f(a)<f(b)⟹{\left(\frac{1}{2}\right)}^a<{\left(\frac{1}{2}\right)}^b$ 该不等式对任意实数 $a,b$ 恒成立，故 D 正确。

故选 D

方法二（特殊值代入法）： 令 $a=1,b=-1$，满足已知条件 $a>b$。将这组特值分别代入各选项中进行筛选：

• A 项： $1^2>(-1{)}^2⟹1>1$（矛盾，排除）；
• B 项： $\frac{-1}{1}<1⟹-1<1$（暂时正确，需换数再试。如取 $a=-1,b=-2⟹\frac{-2}{-1}=2<1$ 矛盾，排除）；
• C 项： $\lg (1-(-1))=\lg 2>0$（暂时正确。换数：取 $a=1.1,b=0.1⟹\lg 1=0>0$ 矛盾，排除）；
• D 项： ${\left(\frac{1}{2}\right)}^1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}⟹\frac{1}{2}<2$（正确）。

利用反例排除法，同样可锁定 D 为唯一正确答案。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式性质中的正负号约束，指数函数 $y=a^x$ 在 $0<a<1$ 时的单调递减性。
2. 核心方法：反例排除法、函数单调性判定法。
3. 避坑指南：
   • 极易受到初中代数思维习惯的影响误选 A，忽略了负数在平方运算时绝对值反而变大的特征。
   • 在看 B 选项时，一定要具备“字母可能为 0 或负数”的条件批判意识，规避分母为 0 的数学禁区。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于不等式与初等函数性质板块的基础辨析题。直接取材于高中数学必修教材中“不等式的性质”与“指数函数单调性”两章的课后综合巩固练习题。
2. 结论推广：对于任意实数满足 $a>b$，若 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的严格单调递增函数，则 $f(a)>f(b)$ 恒成立；若 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的严格单调递减函数，则 $f(a)<f(b)$ 恒成立。常见的增函数模型有 $y=a^x(a>1),y=x^3$，减函数模型有 $y=a^x(0<a<1),y=-x$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-05 单-指数式的大小比较
• 1987-广东文-09 单-函数的单调性
• 2012-山东卷(理)-03 单-充要条件