1993-旧高考文-14 单-圆柱体积的最值

本题导读

本题考查圆柱体积的最值，以及均值不等式的应用。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 如果圆柱轴截面的周长 $l$ 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ()

A. \left(\dfrac l6\right)^3\pi　　　　B. \left(\dfrac l3\right)^3\pi　　　　C. \left(\dfrac l4\right)^3\pi　　　　D. \dfrac14\left(\dfrac l4\right)^3\pi

🔍【思路分析】

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$h+2r=\frac{l}{2}$，$V=\pi r^{2}h$，用 $u=2r$ 凑三元均值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设底面半径 $r$、高 $h$。轴截面周长 $2(h+2r)=l$，即 $h+2r=\frac{l}{2}$。令 $u=2r$，则 $r^{2}h=\frac{u^{2}h}{4}$，且 $\frac{u}{2}+\frac{u}{2}+h=\frac{l}{2}$。由均值不等式 $r^{2}h=\frac{u}{2}\cdot \frac{u}{2}\cdot h⩽{\left(\frac{l/2}{3}\right)}^3=(\frac{l}{6}{)}^3$，等号当 $r=h=\frac{l}{6}$ 时成立。体积最大值 $(\frac{l}{6}{)}^3\pi$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱体积的最值

核心方法：由 $h+2r=\frac{l}{2}$ 及均值不等式，$V=\pi r^{2}h\le (\frac{l}{6}{)}^3\pi$

避坑指南：令 $u=2r$ 化为三数和定值，等号在 $r=h=\frac{l}{6}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆柱与均值不等式

结论推广：轴截面周长定值时圆柱体积有最大值 $(\frac{l}{6}{)}^3\pi$

方法推广：和定积最大用三元均值不等式，验证等号成立

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2006-重庆文-12 单-均值不等式最值
• 2008-重庆文-07 单-均值不等式最值
• 1994-上海文-09 填-二次函数的最值（仓库容积）