1993-旧高考文-10 单-不等式性质的判定

本题导读

本题考查不等式性质的判定，以及指数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（1993年旧高考(文)） 若 $a$、$b$ 是任意实数，且 $a>b$，则 ()

A. a^2>b^2　　　　B. \dfrac ba<1　　　　C. \lg(a-b)>0　　　　D. \left(\dfrac12\right)^a<\left(\dfrac12\right)

🔍【思路分析】

破题导航

$y=(\frac{1}{2}{)}^x$ 递减，$a>b\Rightarrow (\frac{1}{2}{)}^a<(\frac{1}{2}{)}^b$；其余举反例。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$a>b$ 推不出 $a^2>b^2$（如 $a=-1,b=-2$）；$a$ 为负时 $\frac{b}{a}<1$ 不一定成立；$a-b$ 只保证为正，不保证大于 $1$，$\lg (a-b)>0$ 不一定成立。而 $y=(\frac{1}{2}{)}^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上递减，$a>b$ 得 $(\frac{1}{2}{)}^a<(\frac{1}{2}{)}^b$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式性质的判定

核心方法：$y=(\frac{1}{2}{)}^x$ 递减，由 $a>b$ 得 $(\frac{1}{2}{)}^a<(\frac{1}{2}{)}^b$；其余选项均可举反例

避坑指南：含负数、零时 $a^2>b^2$、$\frac{b}{a}<1$ 未必成立，$\lg (a-b)>0$ 需 $a-b\ge 1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于不等式基本性质

结论推广：$a>b$ 与幂、对数值的大小需按底数与真数条件逐类讨论

方法推广：判断命题真假首选举反例

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-04 单-不等式性质判断
• 2004-北京春文-07 单-不等式性质命题判断
• 2006-上海春-14 单-不等式性质判断