1992-三南-26 解-放缩法证明不等式

本题导读

本题考查放缩法证明不等式。核心在于利用 $\frac{1}{\sqrt{k}}$ 的分母有理化放缩并累加。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 证明不等式：$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$.

🔍【思路分析】

破题导航

对 $k$ 有 $2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}>\frac{1}{\sqrt{k}}$，累加得 $\sum \frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

对任意正整数 $k$，有 $2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}>\frac{1}{\sqrt{k}}$，因为 $2\sqrt{k}>\sqrt{k}+\sqrt{k-1}$。逐项相加得 $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sum _{k=1}^n(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})=2\sqrt{n}$，不等式得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：放缩法证明不等式

核心方法：$2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}>\frac{1}{\sqrt{k}}$，累加放缩

避坑指南：分母有理化放缩

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：放缩法证明不等式

结论推广：$\frac{1}{\sqrt{k}}<\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$

方法推广：分母有理化放缩

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型
• 03.05 不等式的证明方法

类题演练 (Links)

• 2005-湖南卷文-16 解-对数等差数列与裂项放缩
• 2006-天津文-21 解-数列递推放缩
• 2006-湖南文-20 解-逆序数新定义与放缩