1986-广东理-24 单-抛物线上的最值

本题导读

本题考查抛物线上的距离和最小值。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 若点 $A$ 的坐标为 $(3,2)$，$F$ 为抛物线 $y^2=2x$ 的焦点，点 $P$ 在该抛物线上移动，为使得 $|PA|+|PF|$ 取最小值，点 $P$ 的坐标应为 ()

A. $(0,0)$　　B. $(1,1)$　　C. $(2,2)$　　D. $(\frac{1}{2},1)$　　E. $(1,\sqrt{2})$

🔍【思路分析】

破题导航

$|PF|=$ $P$ 到准线距离，$|PA|+|PF|$ 化为 $P$ 到 $A$ 与准线的距离和。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$y^2=2x$，$F(\frac{1}{2},0)$，准线 $x=-\frac{1}{2}$。$|PF|=$ $P$ 到准线距离。$|PA|+|PF|=$ $P$ 到 $A$ 与到准线距离之和，最小当 $P$、$A$、$P$ 在准线上的射影共线，即 $P$ 的纵坐标 $=2$。$y=2$ 代入 $y^2=2x$ 得 $x=2$。故 $P(2,2)$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线上的最值

核心方法：$|PA|+|PF|\ge$ 准线距离，$A$ 在抛物线外部。

避坑指南：$P(2,2)$，选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线最值。

结论推广：定义与准线。

方法推广：几何法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-10 单-抛物线的焦点与准线
• 1987-广东理-12 单-抛物线的准线