1986-全国理-05 单-数据的求和

本题导读

本题考查数据求和，以及基准数法（筹算放缩）。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 给出 20 个数：87, 91, 94, 88, 93, 91, 89, 87, 92, 86, 90, 92, 88, 90, 91, 86, 89, 92, 95, 88，它们的和是 ()

A. 1789　　　　　B. 1799　　　　　C. 1879　　　　　D. 1899

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察给出的 20 个数据，各数值均在 90 左右波动。
2. 选取 $90$ 作为全局运算的基准数。
3. 将每个数表示为 $90+{\Delta }_i$ 的形式，其中 ${\Delta }_i$ 为该数相对于 90 的偏差量。
4. 总和即为 $20\times 90$ 与所有偏差量 ${\Delta }_i$ 之和的代数叠加。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 这 20 个数都在 90 附近，取基准数 90，把各数写成 $90+{\Delta }_i$ 的形式，其中 ${\Delta }_i$ 为各数相对 90 的偏差： $-3,+1,+4,-2,+3,+1,-1,-3,+2,-4,0,+2,-2,0,+1,-4,-1,+2,+5,-2$。 将 20 个偏差相加： $(-3+3)+(1-1)+(4-4)+(2-2)+(1-1)+(2-2)+(-3-2+2-4+1+2+5-2)=0+0+0+0+0+0+(-1)=-1$。 所以总和 $S=20\times 90+(-1)=1800-1=1799$。 分析选项： A 选项：1789，错误； B 选项：1799，正确； C 选项：1879，错误； D 选项：1899，错误。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基准数法：选 90 为基准，只累加各数与 90 的偏差，把大数相加转化为小数相加，避免逐项进位出错。
• 正负抵消：把偏差中成对的正负数先抵消，剩下的少数几项再相加，可显著减少计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于统计中”基准数（简化数据）法”求平均数与总和，考查将数据转化为 $x_0+{\Delta }_i$ 处理的思想，体现化繁为简、估算与凑整的运算策略。

2. 结论推广：若一组数据 $x_i$ 均以 $x_0$ 为基准、偏差和为 $D$，则总和 $S=n{x}_0+D$，平均数 $\bar{x}=x_0+\frac{D}{n}$。

3. 方法推广：本题平均数为 $90+\frac{-1}{20}=89.95$，总和 $89.95\times 20=1799$，与基准数法结果一致。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-06 单-数据的求和
• 1986-广东理-31 填-等差数列求和