1986-上海理-31 解-由和求数列通项

本题导读

本题考查由前 $n$ 项和求通项，并判断除去首项后数列的等差性质。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_n=n^2+2n+4$（$n\in {\mathbf{Z}}^{+}$）.

(1)写出这个数列的前三项 $a_1$，$a_2$，$a_3$；

(2)证明：数列 $\{a_n\}$ 除去首项后所成的数列 $a_2$，$a_3$，$a_4$，$\cdots$ 是等差数列.

🔍【思路分析】

破题导航

$a_1=S_1$，$n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$。

✅【答案】

Success

(1) $a_1=7$，$a_2=5$，$a_3=7$

(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)$a_1=S_1=1+2+4=7$；$a_2=S_2-S_1=(4+4+4)-7=5$；$a_3=S_3-S_2=(9+6+4)-12=7$。 (2)$n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n+4)-[(n-1{)}^2+2(n-1)+4]=2n+1$。故 $a_{n+1}-a_n=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2$（$n\ge 2$），所以 $a_2,a_3,a_4,\cdots$ 构成公差为 $2$ 的等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由和求数列通项

核心方法：$a_1=S_1=7$；$n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=2n+1$。

避坑指南：$a_2=5$，$a_3=7$；$a_{n+1}-a_n=2$（$n\ge 2$），去掉首项后是公差 2 的等差数列。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$ 与 $a_n$ 关系。

结论推广：$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge 2$）。

方法推广：首项单独验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2001-新课标理-02 单-前n项和判数列
• 2014-浙江卷理-19 解-通项公式与性质