1985-全国理-10 填-复合函数的定义域

本题导读

本题考查复合函数的定义域求解，以及整体代换思想。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 设函数 $f(x)$ 的定义域是 $[0,1]$，求函数 $f(x^2)$ 的定义域 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，即内层 $x^2$ 必须落在 $[0,1]$ 内。
2. 解不等式 $0\le x^2\le 1$。

✅【答案】

Success

$[-1,1]$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，要求内层自变量 $x^2\in [0,1]$， 即 $0\le x^2\le 1$，解得 $-1\le x\le 1$。 故 $f(x^2)$ 的定义域为 $[-1,1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 复合函数定义域的口诀：“内层函数值域落在外层定义域内”。本题即 $x^2\in [0,1]$。
• 注意平方的范围：$x^2\le 1$ 的解是 $-1\le x\le 1$，勿漏负半轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于函数定义域与复合函数概念，考查”内层值域落在外层定义域内”这一核心思想，是抽象函数定义域的经典母题。

2. 结论推广：已知 $f(x)$ 定义域为 $[a,b]$，则 $f(g(x))$ 的定义域由 $a\le g(x)\le b$ 确定。

3. 方法推广：求复合函数定义域，先写出外层定义域对内部函数的约束不等式，再求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-03 单-函数的定义域
• 1987-全国文-14 填-对数函数的定义域