1985-全国理-08 填-抛物线的焦点

本题导读

本题考查抛物线标准方程的识别与焦点坐标的求解。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 求曲线 $y^2=-16x+64$ 的焦点 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将方程化为抛物线标准形式 $y^2=2px$（开口向左）。
2. 由 $p$ 确定焦点坐标 $\left(\frac{p}{2},0\right)$。

✅【答案】

Success

$(0,0)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y^2=-16x+64=-16(x-4)$，这是顶点在 $(4,0)$、开口向左的抛物线。 与标准方程 $y^2=2px$ 对照，$2p=-16$，得 $p=-8$，焦点在顶点左侧 $\frac{|p|}{2}=4$ 处， 即焦点坐标为 $(4-4,0)=(0,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平移抛物线：$y^2=-16(x-4)$ 顶点为 $(4,0)$，焦点 = 顶点 + $\left(\frac{p}{2},0\right)$，注意 $p<0$ 时焦点在顶点左侧。
• 符号方向：$y^2=2px$ 中 $p<0$ 表示开口向左，焦点为 $\left(\frac{p}{2},0\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于抛物线标准方程 $y^2=2px$ 的识别，考查顶点平移后焦点坐标的确定，体现坐标变换思想。

2. 结论推广：$y^2=2px$ 的焦点为 $\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线为 $x=-\frac{p}{2}$。

3. 方法推广：求抛物线焦点先配方化为标准方程，再由 $p$ 确定焦点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1983-全国文-02 单-抛物线的焦点位置