1985-全国理-07 填-反三角函数求和

本题导读

本题考查反三角函数的基本性质，以及 $\arccos a$ 与 $\arccos (-a)$ 的互补关系。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 设 $|a|\le 1$，求 $\arccos a+\arccos (-a)$ 的值 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由反余弦函数的定义，$\arccos (-a)=\pi -\arccos a$。
2. 直接代入求和。

✅【答案】

Success

$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设 $\alpha =\arccos a$，则 $a=\cos \alpha$，且 $\alpha \in [0,\pi ]$。 因为 $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha =-a$，且 $\pi -\alpha \in [0,\pi ]$， 所以 $\arccos (-a)=\pi -\alpha =\pi -\arccos a$。 故 $\arccos a+\arccos (-a)=\arccos a+(\pi -\arccos a)=\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 反余弦的互补关系：$\arccos a+\arccos (-a)=\pi$，是反余弦函数的基本恒等式。
• 值域约束：$\arccos a\in [0,\pi ]$，$\pi -\arccos a$ 仍在该区间内，保证等式成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是 1985 年全国卷理科第 7 题，两行就能做完，考的是”$\arccos (-a)$ 到底等于什么”。它和 $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$ 是一对：$\arccos$ 那个是减号变 $\pi -$，$\arcsin$ 那个是奇函数，符号原样带出来。两条放在一起记，才能分清哪个变号、哪个不变号。

2. 结论推广：$\arccos a+\arccos (-a)=\pi$；$\arcsin a+\arcsin (-a)=0$。

3. 方法推广：反三角函数的和差问题，借助”设角 + 三角恒等式”化为同名函数处理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1985-广东理-21 单-反三角函数的大小比较